Transcription de la vidéo
Déterminez les extrema de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 puissance quatre moins deux 𝑥 au cube.
On rappelle que les extrema sont les minimums et les maximums locaux. Les extrema sont des exemples de points critiques d’une fonction. Et on sait que les points critiques d’une fonction se produisent lorsque sa dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥, est égale à zéro ou est indéfinie. En regardant cette fonction 𝑓 de 𝑥, on voit qu’il s’agit d’un polynôme. Or, on sait que la dérivée d’un polynôme est définie pour toutes les valeurs de son domaine de définition. Il n’y a donc pas à s’inquiéter que 𝑓 prime de 𝑥 soit indéfinie. Il suffit de trouver quand 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro pour déterminer les points critiques.
Trouvons d’abord l’expression de 𝑓 prime de 𝑥. On peut le faire en utilisant la formule de dérivation d’une puissance. 𝑓 prime de 𝑥 est égale à trois multiplié par quatre 𝑥 au cube… – Rappelons qu’il faut multiplier par l’exposant, puis retrancher un à l’exposant – … moins deux fois trois 𝑥 au carré, ce qui se simplifie à 12𝑥 au cube moins six 𝑥 au carré. Pour trouver les abscisses 𝑥 des points critiques, on fixe à zéro la dérivée première et on résout l’équation en 𝑥 obtenue.
Maintenant, on peut factoriser ces deux termes par six 𝑥 au carré, ce qui donne six 𝑥 au carré multiplié par deux 𝑥 moins un égale zéro. Six n’est pas égal à zéro. Donc, en fixant à zéro chacun des deux facteurs restants, on a 𝑥 au carré égale zéro, ce qui donne 𝑥 égale zéro, et deux 𝑥 moins un égale zéro, ce qui donne 𝑥 égale un demi. On a donc trouvé que la fonction 𝑓 de 𝑥 a des points critiques en 𝑥 égale zéro et 𝑥 égale un demi.
Il faut ensuite évaluer la fonction elle-même en chacun des points critiques. Premièrement, en remplaçant 𝑥 par zéro, on trouve 𝑓 de zéro égale trois multiplié par zéro puissance quatre moins deux multiplié par zéro au cube, ce qui est égal à zéro. En remplaçant 𝑥 par un demi, on trouve trois multiplié par un demi puissance quatre moins deux multiplié par un demi au cube. C’est égal à trois sur 16 moins un sur quatre ou un quart, ce qu’on peut écrire trois sur 16 moins quatre sur 16, ce qui donne moins un sur 16. Les points critiques de cette fonction sont donc zéro, zéro et un demi, moins un sur 16. Mais on ne sait pas encore de quel type de points critiques il s’agit. Il y a trois possibilités. Il peut s’agir de maximums locaux, de minimums locaux, ou de points d’inflexion.
Afin de caractériser chacun des points critiques, on va appliquer le test de la dérivée seconde. Le signe de la dérivée seconde de la fonction indique à quel type de point critique on a affaire. Si la dérivée seconde de la fonction est négative, cela signifie que la dérivée première ou pente de la fonction est décroissante. Et on a donc un maximum local. Si la dérivée seconde est positive, alors la pente ou dérivée première de la fonction 𝑓 prime de 𝑥 est croissante. Et on a donc un minimum local. Si la dérivée seconde est égale à zéro, alors le point critique pourrait être un point d’inflexion. Mais ça ne suffit pas. Il est possible d’avoir un minimum local ou un maximum local lorsque la dérivée seconde est égale à zéro. Donc, si on trouve que la dérivée seconde est égale à zéro, il faut continuer à étudier le point critique pour pouvoir le caractériser.
Commençons par trouver une expression de la dérivée seconde de la fonction. Pour ce faire, nous allons dériver l’expression trouvée pour la dérivée première ; rappelons que c’était 12𝑥 au cube moins six 𝑥 au carré. La dérivée est 12 multiplié par trois 𝑥 au carré moins six multiplié par deux 𝑥. Ça se simplifie à 36𝑥 au carré moins 12𝑥. Étudions d’abord le point critique 𝑥 égale un demi. En remplaçant 𝑥 par un demi dans la dérivée seconde, on trouve 36 multiplié par un demi au carré moins 12 multiplié par un demi. C’est égal à 36 sur quatre moins 12 sur deux, soit neuf moins six, ce qui est égal à trois. La valeur de la dérivée seconde ne nous intéresse guère, sauf pour remarquer qu’elle est supérieure à zéro. Et donc, par le test de la dérivée seconde, on trouve que ce point critique est un minimum local.
En remplaçant 𝑥 par zéro pour l’autre point critique, on trouve que la dérivée seconde est aussi égale à zéro. Et donc ici, le test de la dérivée seconde ne nous a pas aidé à caractériser ce point critique. Il va falloir l’étudier autrement. Et on va utiliser le test de la dérivée première. Il va s’agir d’étudier le signe de la dérivée première de chaque côté du point critique. On va donc étudier la forme de la courbe autour du point critique.
Or, comme l’autre point critique se situe en 𝑥 égale un demi, il va falloir choisir des valeurs de 𝑥 assez proches de zéro. On va donc choisir comme valeurs de 𝑥 moins un quart et un quart. On sait déjà que 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée première, est égale à zéro lorsque 𝑥 est égal à zéro, au point critique lui-même. En remplaçant 𝑥 par moins un quart dans la dérivée première qui, on se souvient, était 12𝑥 au cube moins six 𝑥 au carré, on trouve que la dérivée première est égale à moins neuf sur 16 en ce point. La valeur elle-même ne nous intéresse pas spécialement. Mais on s’intéresse au fait qu’il s’agit d’une valeur négative.
En remplaçant 𝑥 par un quart dans la dérivée première, on obtient 12 multiplié par un quart au cube moins six multiplié par un quart au carré, ce qui est égal à moins trois sur 16. Encore une fois, ce qui nous intéresse, c’est le fait que la dérivée première soit négative. Ça aide à se représenter la forme de la courbe en ce point critique. Si la pente est négative, puis nulle, puis de nouveau négative, on peut dessiner la forme. Et on voit que ce point critique est en fait un point d’inflexion. On a besoin d’effectuer ce test de dérivée première uniquement lorsque le test de la dérivée seconde ne permet pas de distinguer minimum local, maximum local et point d’inflexion. Mais en fait, le test de la dérivée première est en lui-même une méthode valable.
L’énoncé demandait seulement les minimums et maximums locaux. Il n’y a donc pas besoin de mentionner le point d’inflexion dans la réponse finale, même s’il a fallu le vérifier. On peut donc en conclure que la fonction 𝑓 de 𝑥 a un point minimum local en un demi, moins un seizième.
