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Vidéo de question : Dérivation logarithmique de fonctions impliquant des logarithmes et des rapports trigonométriques Mathématiques

Sachant que 𝑦 = (log 8𝑥)^(4 tan 5𝑥), calculez d𝑦/d𝑥.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑦 est égal au log de huit 𝑥 élevé à la puissance quatre tan cinq 𝑥, calculez d𝑦 sur d𝑥.

On nous demande de calculer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, mais la fonction 𝑦 est un logarithme qui est élevé à un exposant qui est lui-même fonction de 𝑥. À cause de cet exposant, on ne peut pas appliquer directement les formules usuelles de dérivation, par exemple les dérivées de fonctions composées, d’un produit ou d’un quotient. Mais on peut utiliser la dérivation logarithmique. Cette méthode comporte quatre étapes qu’on va d’abord énumérer, puis appliquer à la fonction 𝑦.

La première étape consiste à prendre le logarithme népérien de chaque côté, on a le logarithme népérien de 𝑦 égale le logarithme népérien de 𝑓 de 𝑥 ; rappelons que le logarithme népérien est le logarithme en base 𝑒, où 𝑒 est le nombre d’Euler, approximativement égal à 2,71828. Il faut également préciser que 𝑦 est supérieur à zéro pour que ce soit valide. En effet, le logarithme de zéro est non défini et le logarithme n’existe pas pour les valeurs négatives. Si on veut inclure des valeurs négatives, il faut utiliser la valeur absolue de 𝑦 et de 𝑓 de 𝑥. Dans ce cas, on spécifie que 𝑦 est non nul.

La deuxième étape consiste à utiliser les propriétés des logarithmes pour développer ou simplifier, ce qui permet de passer à la troisième étape. Celle-ci consiste à dériver les deux côtés par rapport à 𝑥. Et la dernière étape consiste à trouver d𝑦 sur d𝑥. Alors appliquons cela à la fonction 𝑦. Pour la première étape, le logarithme népérien de 𝑦 est égal au logarithme népérien de log de huit 𝑥 puissance quatre tangente cinq 𝑥. Ceci vaut pour 𝑦 supérieur à zéro. Ensuite, on peut passer à la deuxième étape qui fera appel aux propriétés des logarithmes pour développer la fonction. Et puisque l’argument du logarithme népérien contient un exposant, on peut utiliser la formule de la puissance d’un logarithme. À savoir, le logarithme en base 𝑎 de 𝑏 puissance 𝑐 est égal à 𝑐 fois le log en base 𝑎 de 𝑏. Autrement dit, on met l’exposant 𝑐 devant le logarithme et on multiplie.

L’exposant 𝑐 vaut quatre tan cinq 𝑥. Et donc en appliquant la formule de la puissance, on a quatre tangente cinq 𝑥 fois le logarithme népérien de log huit 𝑥. Jusque là, tout va bien car on a maintenant un produit d’expressions à droite, on peut donc passer à la troisième étape, qui consiste à dériver les deux côtés par rapport à 𝑥. À droite, on a maintenant un produit de deux fonctions. On peut donc utiliser la formule de la dérivée d’un produit. À savoir, pour 𝑢 et 𝑣 fonctions dérivables en 𝑥, d sur d𝑥 du produit 𝑢𝑣 égale 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Alors, en posant 𝑢 égale quatre tan cinq 𝑥 et 𝑣 égale au logarithme népérien de log huit 𝑥, on cherche d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 pour pouvoir calculer la dérivée du produit.

Pour d𝑢 sur d𝑥, on peut utiliser la formule d sur d𝑥 de tan 𝑤, où 𝑤 est une fonction dérivable de 𝑥, égale d𝑤 sur d𝑥 fois la sécante au carré de 𝑤. Puisqu’on a 𝑤 égale cinq 𝑥, alors d𝑢 sur d𝑥 égale cinq fois quatre sec au carré de cinq 𝑥. C’est 20 sec au carré de cinq 𝑥. On cherche maintenant d𝑣 sur d𝑥. On a donc une fonction 𝑣 qui est le logarithme népérien d’une fonction de 𝑥, qu’on appellera 𝑤. Et 𝑤 égale log de huit 𝑥. Rappelons qu’un logarithme sans base spécifiée est un logarithme en base 10.

Pour dériver la fonction logarithme népérien de 𝑤, on peut utiliser la formule selon laquelle d sur d𝑥 du logarithme népérien de 𝑤 égale un sur 𝑤 d𝑤 sur d𝑥, où 𝑤 est une fonction de 𝑥. Et, bien sûr, 𝑤 est dérivable. On a donc d𝑣 sur d𝑥 égale un sur le log de huit 𝑥 fois d sur d𝑥 du log de huit 𝑥. Et pour dériver le log en base 10 de huit 𝑥, on va utiliser la formule de la dérivée d’un logarithme dans une base quelconque. C’est d sur d𝑥 de log en base 𝑎 de 𝑤 est égal au log en base 𝑎 de 𝑒 sur 𝑤 fois d𝑤 sur d𝑥. Donc, dans notre cas, la base 𝑎 est 10, et la fonction 𝑤 est huit 𝑥. Donc, sa dérivée est log en base 10 de 𝑒, sur huit 𝑥, c’est 𝑤, fois huit, qui est d𝑤 sur d𝑥. Les huit se simplifient, et on a log en base 10 de 𝑒 sur 𝑥.

Bien. Maintenant, peut-on simplifier log en base 10 de 𝑒 ? Si on utilise la formule du changement de base d’un logarithme avec 𝑒 à la place de 𝑏 et 10 à la place de 𝑎, et pour que la nouvelle base soit 𝑒, on a log en base 10 de 𝑒 est égal à log en base 𝑒 de 𝑒 sur log en base 𝑒 de 10. En quoi est-ce plus simple ? Parce que log en base 𝑒 de 𝑒 égale un. Et le log en base 𝑒 de 10 est simplement le logarithme népérien de 10. Donc, log en base 10 de 𝑒 égale un sur le logarithme népérien de 10, donc la dérivée par rapport à 𝑥 de log en base 10 de huit 𝑥 est égale à un sur 𝑥 fois le logarithme népérien de 10. Alors d𝑣 sur d𝑥 égale un sur log huit 𝑥 fois un sur 𝑥 fois le logarithme népérien de 10.

On a donc maintenant tout ce qu’il faut pour utiliser la formule de la dérivée d’un produit. Faisons de la place ; on a 𝑢 égale quatre tan de cinq 𝑥, 𝑣 est le logarithme népérien de log de huit 𝑥 ; d𝑢 sur d𝑥 égale 20 sécante au carré de cinq 𝑥, et d𝑣 sur d𝑥 égale un sur 𝑥 fois le logarithme népérien de 10 fois le logarithme de huit 𝑥. Et dans la formule de la dérivée d’un produit, on a d sur d𝑥 du logarithme népérien de 𝑦 égale quatre tan cinq 𝑥, qui est 𝑢, fois un sur 𝑥 fois le logarithme népérien de 10 fois le log de huit 𝑥, qui est d𝑣 sur d𝑥, plus le logarithme népérien du log de huit 𝑥, qui est 𝑣, fois 20 sec au carré de cinq 𝑥, qui est d𝑢 sur d𝑥.

Si on réécrit en commençant par le terme qui n’est pas un quotient, on a d sur d𝑥 du logarithme népérien de 𝑦 égale 20 fois le logarithme népérien du log de huit 𝑥 fois sec au carré de cinq 𝑥 plus quatre tangente de cinq 𝑥 sur 𝑥 fois le logarithme népérien de 10 fois log de huit 𝑥. C’est presque fini, mais pas tout à fait, puisqu’il faut encore dériver le côté gauche. On cherche d sur d𝑥 du logarithme népérien de 𝑦. Rappelons que 𝑦 est une fonction de 𝑥, on peut donc de nouveau utiliser le résultat d sur d𝑥 du logarithme népérien de 𝑤, où 𝑤 est une fonction dérivable de 𝑥, égale un sur 𝑤 fois d𝑤 sur d𝑥 pour 𝑤 supérieur à zéro. On obtient un sur 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥.

On a donc terminé la troisième étape ; c’est-à-dire qu’on a dérivé chaque côté par rapport à 𝑥. Il faut maintenant trouver d𝑦 sur d𝑥. C’est la quatrième étape. On peut le faire en multipliant les deux côtés par 𝑦. À gauche, les 𝑦 se simplifient, et à droite, on a introduit la fonction initiale 𝑦. Et on a terminé l’étape quatre. Donc, pour la fonction 𝑦 égale log huit 𝑥 élevé à la puissance quatre tan cinq 𝑥, d𝑦 sur d𝑥 égale log huit 𝑥 puissance quatre tan cinq 𝑥 fois 20 fois le logarithme népérien de log huit 𝑥 fois sec au carré de cinq 𝑥 plus quatre tan cinq 𝑥 sur 𝑥 fois le logarithme népérien de 10 fois log huit 𝑥.

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