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Vidéo de question : L’effet de l’ajout du vecteur nul Mathématiques

Soit 𝐳 le vecteur nul. Que vaut 𝐳 + 𝐮 pour tout vecteur 𝐮 ?

03:35

Transcription de vidéo

Soit 𝐳 le vecteur nul. Que vaut le vecteur 𝐳 plus le vecteur 𝐮 pour tout vecteur 𝐮?

Dans cette question, on nous dit que 𝐳 est le vecteur nul. Nous devons trouver une expression pour le vecteur 𝐳 plus le vecteur 𝐮 pour tout vecteur 𝐮. Il y a plusieurs façons de procéder. Commençons par rappeler exactement ce que nous entendons par le vecteur nul.

Le vecteur nul est le vecteur qui a toutes ses composantes égales à zéro. Ainsi, par exemple, le vecteur zéro, zéro sera le vecteur nul en deux dimensions. Nous devons trouver une expression pour le vecteur nul plus le vecteur 𝐮 pour tout vecteur 𝐮. Il pourrait être tentant d’essayer de le faire en ajoutant les composantes ensemble. Cependant, il est en fait plus facile de se le représenter graphiquement.

Rappelons que nous pouvons ajouter graphiquement deux vecteurs 𝐯 et 𝐮. Tout d’abord, nous dessinons le vecteur 𝐯, puis au point terminal du vecteur 𝐯, nous dessinons le vecteur 𝐮. Ensuite, le vecteur 𝐯 plus 𝐮 sera le vecteur commençant au point initial du vecteur 𝐯 et se terminant au point terminal du vecteur 𝐮. Bien que, dans ce cas, notre croquis soit en deux dimensions, cela est également vrai dans n’importe quelle dimension.

Nous pouvons utiliser ceci pour trouver une expression pour le vecteur nul plus le vecteur 𝐮. Tout d’abord, nous allons dessiner notre vecteur nul. Seulement, nous savons que toutes les composantes du vecteur nul sont égales à zéro. Ainsi, notre vecteur nul ne représente aucun mouvement dans aucune direction. Ainsi, peu importe la façon dont nous dessinons notre vecteur 𝐮. En effet, graphiquement, le vecteur nul ne représente pas le moindre mouvement, donc, se déplacer le long du vecteur nul puis se déplacer le long du vecteur 𝐮 sera toujours égal au vecteur 𝐮. Par conséquent, nous avons montré que le vecteur nul plus le vecteur 𝐮 sera juste égal au vecteur 𝐮.

Nous pouvons également souligner autre chose ici. Nous savons que la somme de vecteurs est commutative, nous pouvons donc les ajouter dans l’ordre inverse. Nous aurions toujours le vecteur 𝐮.

Il y a une autre façon de prouver ceci. Nous aurions pu le prouver directement par l’addition de deux vecteurs. Ainsi, par exemple, si 𝐳 était le vecteur nul de dimension 𝑛 - il s’agit donc d’un vecteur à 𝑛 composantes, toutes égales à zéro - et 𝐮 est également un vecteur à 𝑛 dimensions - nous appellerons ses composantes 𝐮 un et 𝐮 deux jusqu’à 𝐮 𝑛 - alors nous savons comment additionner ces deux vecteurs. Nous faisons cela par composante. Nous venons d’additionner les composantes correspondantes de ces deux vecteurs.

Seulement, toutes les composantes de 𝐳 sont nulles, nous obtenons donc le vecteur zéro plus 𝐮 un, zéro plus 𝐮 deux, jusqu’à zéro plus 𝐮 𝑛. Nous savons que ajouter zéro ne change pas une valeur, cela nous donne donc juste le vecteur 𝐮 un, 𝐮 deux, jusqu’à 𝐮 𝑛, qui était notre vecteur 𝐮. Par conséquent, nous avons montré que pour tout vecteur 𝐮 et le vecteur nul de dimensions égales, 𝐳 plus 𝐮 sera égal à 𝐮 et 𝐮 plus 𝐳 sera également égal à 𝐮.

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