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Vidéo de question : Déterminer la limite d’un produit de deux fonctions Mathématiques

Soit lim_(𝑥 → 2)𝑓(𝑥) = 5. Déterminez lim_(𝑥 → 2)(𝑥 + 2)⋅𝑓(x).

02:06

Transcription de vidéo

Soit la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 soit égale à cinq. Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 plus deux fois 𝑓 de 𝑥.

La question nous dit que pour une fonction 𝑓 de , la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq. Nous devons utiliser cette information pour trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 plus deux fois 𝑓 de 𝑥. Nous ne savons pas calculer directement cette limite, nous devrons la réécrire en fonction de limites que nous savons calculer.

Nous savons calculer la limite de 𝑥 plus deux. Et nous savons calculer la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux. Donc, nous allons réécrire la limite du produit comme le produit des limites. Et heureusement, nous savons que nous pouvons le faire. Nous savons que pour toutes fonctions 𝑔 et ℎ et pour toute constante réelle 𝑎, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 fois ℎ de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 fois la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de ℎ de 𝑥. Autrement dit, la limite du produit de deux fonctions est égale au produit des limites de ces deux fonctions.

Pour appliquer ceci à la limite demandée dans la question, nous allons poser la valeur 𝑎 égale à deux, notre fonction 𝑔 de 𝑥 égale à 𝑥 plus deux, et notre fonction ℎ de 𝑥 égale à 𝑓 de 𝑥. Ainsi, en utilisant ces valeurs, nous avons la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 plus deux fois 𝑓 de 𝑥 égale la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 plus deux multipliée par la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥.

Nous pouvons maintenant calculer ces deux limites. La limite de 𝑥 plus deux est la limite d’une fonction linéaire. Nous pouvons la calculer par substitution directe. Donc, nous remplaçons 𝑥 par deux dans la fonction linéaire 𝑥 plus deux. Ceci donne simplement deux plus deux, ce qui bien sûr se simplifie à quatre. Et bien sûr, on nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq. Donc, nous connaissons cette limite, elle est égale à cinq. Donc, ça donne quatre fois cinq, ce qui est égal à 20.

Ainsi, nous avons montré que si la limite lorsque 𝑥 tend vers deux d’une fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 plus deux fois 𝑓 de 𝑥 doit être égale à 20.

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