Vidéo : Les fractales ne sont généralement pas auto-similaires

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Les fractales ne sont généralement pas auto-similaires

19:57

Transcription de vidéo

Qui n’aime pas les fractales ? Elles sont un beau mélange de simplicité et de complexité, incluant souvent ces motifs qui se répètent à l’infini. Les programmeurs, en particulier, ont tendance à les aimer particulièrement. Parce qu’il faut une petite quantité de code pour produire des images bien plus complexes que toute main humaine ne pourrait jamais espérer dessiner. Mais beaucoup de gens ne connaissent pas la définition d’une fractale, du moins pas celle que Benoît Mandelbrot, le père de la géométrie fractale, avait en tête.

Une idée fausse commune est que les fractales sont des figures parfaitement auto-similaires. Par exemple, cette figure ressemblant à un flocon de neige ici, appelée flocon de neige de Von Koch, consiste en trois segments différents. Et chacun de ceux-ci est parfaitement semblable, en ce sens que lorsque vous zoomez dessus, vous obtenez une copie parfaitement identique de l’original. De même, le fameux triangle de Sierpiński consiste en trois copies identiques plus petites. Et ne vous méprenez pas, les figures auto-similaires sont vraiment belles. Et elles sont un bon modèle de jouet pour ce que sont réellement les fractales.

Mais Mandelbrot avait en tête une conception beaucoup plus large, motivée non pas par la beauté mais par un désir pragmatique de modéliser la nature de manière à capter les aspérités. D’une certaine manière, la géométrie fractale est une rébellion contre le calcul, dont la principale hypothèse est que les choses ont tendance à sembler fluides si vous zoomez suffisamment. Mais Mandelbrot a estimé que cela était trop idéalisé, ou du moins inutilement idéalisé, ce qui donnait des modèles qui négligent les détails les plus fins de la chose qu’ils modélisent, ce qui peut avoir de l’importance ! Ce qu’il a observé, c’est que les figures auto-similaires donnent une base pour modéliser la régularité de certaines figures de rugosité. Mais la perception populaire selon laquelle les fractales ne comprennent que des figures parfaitement auto-similaires est une autre chose surréaliste. Un modèle qui va ironiquement à l’esprit pragmatique des origines de la géométrie fractale.

La vraie définition des fractales a à voir avec cette idée de dimension fractale, le sujet principal de cette vidéo. Vous voyez, il y a un sens, une certaine manière de définir le mot dimension pour lequel le triangle de Sierpiński a une dimension d’environ 1.585. Que la courbe de Von Koch soit de dimension environ 1.262. Le littoral britannique se situe autour d’une dimension de 1.21. Et en général, il est possible d’avoir des figures dont la dimension est un nombre réel positif, pas seulement des nombres entiers.

Je pense que la première fois que j’ai entendu parler d’une dimension fractionnaire comme celle-ci, j’ai simplement pensé que c’était absurde, non ? Je veux dire, les mathématiciens ne font que créer des choses. La dimension est quelque chose qui n’a généralement de sens que pour les entiers naturels, non ? Une droite est unidimensionnelle. Un avion, c’est bidimensionnel. L’espace dans lequel nous vivons, c’est en trois dimensions, et ainsi de suite. Et en fait, tout étudiant en algèbre linéaire qui vient d’apprendre la définition formelle de la dimension, dans ce contexte, serait d’accord. Cela n’a de sens que de compter des nombres. Et, bien sûr, l’idée de dimension fractale est juste inventée. Je veux dire, c’est des maths, tout est inventé. Mais la question est de savoir si cela s’avère être une construction utile pour modéliser le monde. Et je pense que vous serez d’accord. Une fois que vous avez appris comment la dimension fractale est définie, vous commencez à la voir presque partout où vous regardez.

En fait, il est utile de commencer la discussion en ne regardant que des figures parfaitement auto-similaires. En fait, je vais commencer par quatre figures, les trois premières n’étant même pas des fractales. Une ligne, un carré, un cube et un triangle de Sierpiński. Toutes ces figures se ressemblent. Une ligne peut être divisée en deux lignes plus petites, chacune étant une copie parfaite de l’original, simplement réduite de moitié. Un carré peut être divisé en quatre carrés plus petits, chacun étant une copie parfaite de l’original, réduit de moitié. De même, un cube peut être divisé en huit cubes plus petits. Encore une fois, chaque version est réduite de moitié. Et la caractéristique principale du triangle de Sierpiński est qu’il est composé de trois copies plus petites de lui-même. Et la longueur du côté d’une de ces copies plus petites est la moitié de la longueur du côté du triangle d’origine.

Maintenant, il est amusant de comparer comment nous mesurons ces choses. Nous dirions que la ligne la plus petite correspond à la moitié de la ligne d’origine. Le plus petit carré représente un quart de la surface du carré d’origine. Le petit cube représente un huitième du volume du cube d’origine. Et ce petit triangle de Sierpiński, eh bien, nous allons parler de la façon de mesurer cela dans un instant. Ce que je veux, c’est un mot qui généralise les notions de longueur, de surface et de volume, mais que je peux appliquer à toutes ces figures et à bien d’autres. Et typiquement en maths, le mot que vous utiliseriez pour cela est mesure. Mais je pense qu’il serait peut-être plus intuitif de parler de masse. Au fur et à mesure, imaginez que chacune de ces figures soit en métal, en fil métallique mince, en feuille plate, en cube plein et en une sorte de réseau de Sierpiński.

La dimension fractale a tout à voir avec la compréhension de la façon dont la masse de ces figures change à mesure que vous les redimensionnez. Le fait de commencer la discussion avec des figures auto-similaires présente l’avantage de nous permettre de comparer clairement les masses. Lorsque vous réduisez cette ligne de moitié, la masse est également réduite de moitié, ce que vous pouvez voir viscéralement, car il faut deux copies de cette plus petite pour figurer le tout. Lorsque vous réduisez un carré de moitié, sa masse est réduite d’un quart, vous pouvez ainsi le constater en assemblant quatre copies plus petites pour obtenir l’original. De même, lorsque vous réduisez de moitié ce cube, la masse est réduite d’un huitième ou d’un demi au cube, car il faut huit copies de ce cube plus petit pour reconstruire l’original.

Et lorsque vous réduisez de moitié ce triangle de Sierpiński, ne croyez-vous pas qu’il est logique de dire que sa masse diminue d’un facteur trois ? Je veux dire, il faut exactement trois de ces plus petites pour construire l’original. Mais notez que pour la ligne, le carré et le cube, le facteur de changement de masse est cette puissance clairement entière d’un demi. En fait, cet exposant est la dimension de chaque figure. Et qui plus est, vous pouvez dire que ce que cela signifie pour une figure, par exemple, en deux dimensions, ce qui place les deux en deux dimensions, c’est que lorsque vous la redimensionnez à l’aide d’un facteur, sa masse est redimensionnée en fonction de ce facteur, à la puissance deux. Et peut-être que pour une figure tridimensionnelle, cela signifie que lorsque vous la modifiez en fonction d’un facteur, la masse est redimensionnée en fonction de la puissance trois de ce facteur.

Donc, si telle est notre conception de la dimension, quelle devrait être la dimension d’un triangle de Sierpiński ? Vous voudriez dire que lorsque vous réduisez ce facteur de moitié, sa masse diminue de moitié, jusqu’à la puissance de — eh bien, quelle que soit sa dimension. Et parce qu’elle se ressemble, nous savons que nous voulons que sa masse diminue d’un facteur trois. Alors, quel est le nombre 𝐷 tel que élever un demi à la puissance 𝐷 vous donne un tiers ? Eh bien, c’est la même chose que de demander deux puissance quoi égal à trois. Le type de question par excellence auquel les logarithmes sont censés répondre. Et lorsque vous entrez un log base deux de trois dans une calculatrice, vous constaterez ça correspond à environ 1.585.

Ainsi, le triangle de Sierpiński n’est donc pas unidimensionnel, même si vous pouviez définir une courbe qui passe par tous ses points. Et ce n’est pas non plus bidimensionnel, même s’il vit dans le plan. Au lieu de cela, il est de dimension 1.585. Et si vous voulez décrire sa masse, ni la longueur ni la surface ne semblent être des notions appropriées. Si vous essayiez, sa longueur serait infinie. Et sa surface se révélerait être zéro. Au lieu de cela, ce que vous voulez, c’est l’analogue de la longueur en dimension 1.585 quelle qu’elle soit.

Regardons ici une autre fractale auto-similaire, la courbe de Von Koch. Celle-ci est composée de quatre copies identiques plus petites, chacune étant une copie de l’originale, réduite d’un tiers. Le facteur d’échelle est donc un tiers. Et la masse a été diminuée par un facteur d’un quart. Cela signifie donc que la dimension doit être un nombre 𝐷 de sorte que lorsque nous élevons un tiers à la puissance 𝐷, cela nous donne un quart. Eh bien, c’est la même chose que de dire trois à la puissance quoi égal à quatre. Vous pouvez donc entrer dans la calculatrice log base trois de quatre. Et cela se situe autour de 1.262. Donc, dans un sens, la courbe de Von Koch est une figure de dimension 1.262.

En voici un autre amusant. C’est un peu la version à angle droit de la courbe de Koch. Elle est constituée de huit copies réduites d’elle-même, où le facteur de mise à l’échelle est ici le quart. Donc, si vous voulez connaître sa dimension, il devrait être un nombre 𝐷 tel qu’un quart de la puissance 𝐷 soit égal à un huitième. Le facteur par lequel la masse vient de diminuer. Et dans ce cas, la valeur que nous voulons est la base de journalisation quatre sur huit. Et c’est exactement les trois moitiés. Donc, évidemment, cette fractale est précisément 1.5 dimension. Est-ce que cela a du sens ? C’est bizarre, mais il ne s’agit que de mettre à l’échelle et de comparer des masses à mesure que vous passez à l’échelle.

Et ce que j’ai décrit jusqu’à présent, jusqu’à présent, tout est ce que vous pourriez appeler la dimension d’auto-similarité. Cela fait du bon travail en donnant l’idée que la dimension fractionnaire semble au moins un peu raisonnable, mais il y a un problème. Ce n’est pas vraiment une notion générale. Je veux dire, lorsque nous avons réfléchi à la façon dont la figure d’une masse devrait changer, elle s’est appuyée sur l’auto-similarité des figures. Que vous pouvez les construire à partir de plus petites copies d’elles-mêmes. Mais cela semble inutilement restrictif. Après tout, la plupart des figures bidimensionnelles ne se ressemblent pas du tout.

Considérons le disque, l’intérieur d’un cercle. Nous savons que c’est en deux dimensions. Et vous pourriez dire que cela est dû au fait que lorsque vous l’augmentez d’un facteur deux, sa masse proportionnelle à la surface est réduite du carré de ce facteur, dans le cas présent quatre. Mais ce n’est pas comme s’il était possible de reconstituer quatre copies de ce petit cercle pour reconstruire l’original. Alors, comment savons-nous que ce disque plus gros représente exactement quatre fois la masse de l’original ? Répondre à cette question nécessite un moyen de rendre cette idée de masse un peu plus rigoureuse sur le plan mathématique, puisque nous ne traitons pas d’objets physiques constitués de matière, n’est-ce pas ? Nous avons affaire à des objets purement géométriques vivant dans un espace abstrait. Et il y a plusieurs façons de penser à cela, mais en voici une commune.

Couvrez le plan avec la grille et mettez en surbrillance tous les carrés de la grille qui touchent le disque. Et comptez maintenant combien il y en a. Au fond de notre esprit, nous savons déjà qu’un disque est bidimensionnel. Et le nombre de carrés de la grille qu’il touche doit être proportionnel à sa surface. Un moyen astucieux de vérifier ceci de manière empirique consiste à agrandir ce disque d’un facteur, par exemple deux, et à compter le nombre de carrés de la grille touchant cette nouvelle version. Ce que vous devriez constater, c’est que ce nombre a augmenté approximativement par rapport au carré de notre facteur d’échelle, ce qui dans ce cas signifie environ quatre fois plus de cases.

Certes, ce qui est affiché à l’écran pourrait ne pas sembler aussi convaincant. Mais c’est juste parce que la grille est vraiment grossière. Si vous utilisiez plutôt une grille beaucoup plus fine, une grille qui rend plus fidèle l’objectif que nous visons ici en mesurant la taille du cercle. Cette relation consistant à quadrupler le nombre de cases touchées lorsque vous redimensionnez le disque d’un facteur deux devrait apparaître plus clairement. J’admettrai cependant que lorsque je simulais cela, j’ai été surpris par la lenteur avec laquelle cette valeur converge vers quatre. Voici une façon de penser à cela. Si vous deviez tracer le facteur d’échelle par rapport au nombre de cases touchées par le disque mis à l’échelle, vos données devraient correspondre parfaitement à une parabole parfaite. Le nombre de cases touchées étant à peu près proportionnel au carré du facteur d’échelle. Pour des valeurs d’échelle de plus en plus grandes, ce qui revient en fait à ne regarder qu’une grille plus fine, ces données vont plus parfaitement correspondre à cette parabole.

Revenons maintenant aux fractales, jouons à ce jeu avec le triangle de Sierpiński en comptant le nombre de cases qui touchent des points de cette figure. Comment imaginez-vous que ce nombre se compare à la mise à l’échelle du triangle par un facteur deux et en comptant le nouveau nombre de cases touchées ? Eh bien, la proportion de cases touchées par la grande par rapport au nombre de boîtes touchées par la petite devrait être d’environ trois. Après tout, cette version plus grande est simplement constituée de trois copies de la version plus petite. Vous pouvez également penser à cela comme deux personnes élevées à la dimension de la fractale, que nous venons de voir est d’environ 1.585. Et donc, si vous deviez tracer le facteur d’échelle dans cette affaire par rapport au nombre de cases touchées par le triangle de Sierpiński. Les données seraient étroitement ajuster une courbe à la figure de 𝑦 égale 𝑥 à la puissance 1.585, simplement multiplié par une constante de proportionnalité.

Mais surtout, si je parle de cela, c’est parce que nous pouvons jouer au même jeu avec des figures non similaires qui ont encore une certaine rugosité. Et l’exemple classique ici est le littoral britannique. Si vous tracez ce littoral dans l’avion et comptez le nombre de cases qui le touchent. Puis redimensionnez-le et comptez le nombre de cases correspondant à cette nouvelle version. Vous constaterez que le nombre de boîtes touchant le littoral augmente approximativement proportionnellement au facteur d’échelle porté à la puissance de 1.21. Ici, il est assez amusant de penser à la manière de calculer ce nombre de manière empirique. Au fur et à mesure, imaginez que je vous donne une figure et que vous soyez un programmeur avisé. Comment trouveriez-vous ce nombre ?

Donc ce que je veux dire est que si vous redimensionnez cette figure par un facteur, que je vais appeler 𝑠. Le nombre de cases touchant cette figure doit être égal à une constante multipliée par le facteur d’échelle élevé, quelle que soit la dimension, la valeur recherchée. Maintenant, si vous avez un tracé de données qui correspond étroitement à une courbe qui ressemble à l’entrée élevée à une certaine puissance, il peut être difficile de voir exactement quelle devrait être cette puissance. Donc, un truc courant consiste à prendre le logarithme des deux côtés. De cette façon, la dimension va descendre de l’exposant. Et nous aurons une belle relation linéaire. Cela suggère que si vous deviez tracer le log de mise à l’échelle divisé par le log du nombre de cases touchant le trait de côte, la relation devrait ressembler à une droite. Et cette droite devrait avoir une pente égale à la dimension.

Cela signifie donc que si vous testez de nombreux facteurs de mise à l’échelle, comptez le nombre de cases touchant la côte à chaque instant, puis tracez les points sur le graphique de log-log. Vous pouvez ensuite faire une sorte de régression linéaire pour trouver la droite la mieux ajustée à votre jeu de données. Et lorsque vous regardez la pente de cette droite, cela vous indique la mesure empirique de la dimension de ce que vous examinez. Je pense juste que cela rend cette idée de dimension fractale tellement plus réelle et viscérale par rapport aux figures abstraites artificiellement parfaites. Et une fois que vous êtes à l’aise pour penser à une dimension comme celle-ci, vous, mon ami, êtes prêt à entendre la définition de fractale.

Les fractales sont essentiellement des figures dont la dimension n’est pas un entier, mais une fraction. Ce qui est bien à propos de cela, c’est que c’est une façon quantitative de dire que ce sont des figures rugueuses et qu’ils le restent même lorsque vous effectuez un zoom avant. Techniquement, la définition est un peu plus précise, et je l’ai incluse dans la vidéo. la description. Mais cette idée d’une dimension non entière reflète presque entièrement l’idée de rugosité que nous visons. Il y a une nuance, cependant, que je n’ai pas encore évoquée, mais cela mérite d’être souligné. C’est-à-dire que cette dimension, du moins telle que je l’ai décrite jusqu’à présent à l’aide de la méthode de comptage de cases, peut parfois changer en fonction du degré de zoom avant.

Par exemple, voici une figure assise en trois dimensions qui ressemble à une droite à une certaine distance. En 3D, en passant, lorsque vous effectuez un comptage de cases, vous disposez d’une grille 3D remplie de petits cubes au lieu de petits carrés. Mais cela fonctionne de la même manière. À cette échelle, où l’épaisseur de la figure est inférieure à la taille des cases, elle a une dimension. Ce qui veut dire que le nombre de cases qu’elle touche est proportionnel à sa longueur. Mais lorsque vous redimensionnez, elle commence à se comporter beaucoup plus comme un tube, touchant les boîtes à la surface de ce tube. Et ainsi, cela aura l’air en deux dimensions, le nombre de cases touchées étant proportionnel au carré du facteur d’échelle. Mais ce n’est pas vraiment un tube. Il est fait de ces petites courbes sinueuses. Ainsi, une fois que vous redimensionnez encore plus, au point que les boîtes peuvent saisir les détails de ces courbes, elle a encore une apparence unidimensionnelle. Avec le nombre de cases touchées, la mise à l’échelle est directement proportionnelle à la constante de mise à l’échelle.

Donc en fait, assigner un nombre à une figure pour sa dimension peut être délicat. Et cela laisse place à des définitions différentes et à des conventions différentes. Dans un contexte purement mathématique, il existe en effet de nombreuses définitions de dimension. Mais tous se concentrent sur la limite de cette dimension à des niveaux de zoom de plus en plus proches. Vous pouvez penser à cela en termes d’intrigue comme la limite de cette pente, lorsque vous vous déplacez de plus en plus loin vers la droite. Donc, pour qu’une figure purement géométrique soit une véritable fractale, elle doit rester rugueuse, même si vous effectuez un zoom infiniment loin. Mais dans un contexte plus appliqué, comme le fait de regarder le littoral britannique, il n’a pas de sens de parler de limite lorsque vous effectuez un zoom avant. Je veux dire, à un moment donné, vous ne feriez qu’atteindre des atomes.

Au lieu de cela, ce que vous faites est de regarder une gamme d’échelles suffisamment large, allant d’un zoom arrière à un zoom avant. Et calculez la dimension de chacune d’elles. Et dans ce contexte plus appliqué, une figure est généralement considérée comme une fractale uniquement lorsque la dimension mesurée reste à peu près constante, même sur plusieurs échelles différentes. Par exemple, le littoral britannique ne se limite pas à une dimension 1.21. Même si vous effectuez un zoom avant d’un facteur mille, le niveau de rugosité est toujours d’environ 1.21. Ce droit existe en ce sens que de nombreuses figures de la nature se ressemblent, bien qu’elles ne soient pas parfaites.

Les figures parfaitement auto-similaires jouent un rôle important dans la géométrie fractale. Ce qu’elles nous donnent, ce sont des exemples simples de ce phénomène de rugosité, faciles à décrire. Une rugosité qui persiste à différentes échelles et à des échelles arbitrairement proches. Et c’est important ! Il nous donne les outils primitifs pour modéliser ces phénomènes fractals. Mais je pense qu’il est également important de ne pas les considérer comme des exemples prototypiques de fractales. Puisque les fractales en général ont en réalité beaucoup plus de caractéristiques.

Je pense vraiment que c’est une de ces idées où, une fois que vous l’avez apprise, vous commencez à regarder le monde complètement différemment. Ce que ce nombre est ce que nous donne cette dimension fractionnaire est une manière quantitative de décrire la rugosité. Par exemple, le littoral norvégien est de dimension environ 1.52, ce qui est un calcul numérique pour communiquer le fait qu’il est beaucoup plus irrégulier que le littoral britannique. La surface d’un océan calme peut avoir une dimension fractale d’à peine plus de deux, alors qu’une tempête peut avoir une dimension plus proche de 2.3. En fait, la dimension fractale ne vient pas souvent de la nature. Il semble que ce soit le principal élément de différenciation entre les objets apparaissant naturellement et ceux qui sont simplement créés par l’homme. Pour l’animation finale ici, j’ai une certaine fractale 𝜋-créature fantaisiste que je veux vous montrer.

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