Transcription de la vidéo
Trois plans sont définis par les équations suivantes : moins trois 𝑥 moins 𝑦 moins deux 𝑧 moins deux est égal à zéro, quatre 𝑥 moins 𝑦 moins trois 𝑧 plus un est égal à zéro, et moins quatre 𝑥 plus trois 𝑦 plus 𝑧 moins quatre est égal à zéro. Déterminez leur point d’intersection.
On nous donne les équations de trois plans et on nous demande leur point d’intersection. Il s’agit du point où les trois plans ont les mêmes valeurs 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Nous avons en fait un système de trois équations linéaires que nous voulons résoudre pour trouver 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Afin de résoudre ce système, nous aimerions écrire ceci comme une équation matricielle afin que nous ayons une matrice trois trois multipliant une matrice trois un égale une matrice trois un. Pour obtenir cela sous la forme correcte, nous déplaçons nos constantes vers la droite.
En ajoutant deux des deux côtés de notre première équation, nous avons moins trois 𝑥 moins 𝑦 moins deux est 𝑧 est égal à deux. De même, pour notre deuxième équation, nous soustrayons un des deux côtés. Pour notre troisième équation, nous ajoutons quatre. Nous pouvons alors créer la matrice trois trois 𝐴 à partir des coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du côté gauche. Notre matrice 𝐮 est alors la matrice colonne avec les éléments 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Notre matrice 𝐯 sur le côté droit est la matrice colonne avec les éléments deux, moins un et quatre. Cela nous donne alors notre équation matricielle 𝐴 multiplié par 𝐮 est égal à 𝐯. En supposant que 𝐴 est non singulière, c’est-à-dire qu’elle a une inverse, nous allons utiliser la méthode de la matrice inverse pour résoudre ce système d’équations.
Pour commencer, nous utilisons le fait que pour une matrice 𝑛 fois 𝑛 non singulière 𝐴, 𝐴 inverse multiplié par 𝐴 est égal à 𝐴 multiplié par 𝐴 inverse est égal à la matrice identité. Il s’agit de la matrice 𝑛 fois 𝑛 avec tous les éléments égaux à zéro, à l’exception de la diagonale principale, où les éléments sont tous un. En multipliant notre équation à gauche par 𝐴 inverse, nous avons 𝐴 inverse 𝐴𝐮 est égal à 𝐴 inverse 𝐯. Nous savons que 𝐴 inverse 𝐴 est la matrice identité, de sorte qu’à gauche nous avons 𝐼 multiplié par 𝐮. En fait, 𝐼 multiplié par 𝐮 est égal à 𝐮.
Alors maintenant, nous avons isolé la matrice colonne 𝐮 sur le côté gauche qui contient nos trois inconnues 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Sur notre droite, nous avons 𝐴 inverse multiplié par 𝐯. Cela signifie que pour résoudre notre équation, nous devons trouver 𝐴 inverse. Pour ce faire, nous allons utiliser la méthode de l’adjointe. Autrement dit, pour une matrice 𝑛 fois 𝑛 non singulière 𝐴, 𝐴 inverse est égal à un sur le déterminant de 𝐴 multiplié par la matrice adjointe de 𝐴. Nous allons donc devoir trouver à la fois le déterminant de 𝐴 et la matrice adjointe de 𝐴.
Maintenant, faisons de la place, commençons par calculer le déterminant de la matrice 𝐴. Pour ce faire, développons selon la première ligne de 𝐴. Cela nous donne que le déterminant de 𝐴 est égal à l’élément 𝑎 un un multiplié par le déterminant de la matrice deux deux de la mineur 𝐴 un un moins l’élément 𝑎 un deux multiplié par le déterminant de sa matrice mineur plus l’élément 𝑎 un trois multiplié par le déterminant de sa matrice mineure.
Rappelez-vous que la matrice mineure 𝐴 𝑖𝑗 est la matrice deux par deux obtenue en supprimant la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de la matrice 𝐴. Pour notre premier terme, nous avons donc l’élément 𝑎 un un, qui est moins trois, multiplié par le déterminant de la matrice deux par deux obtenu en supprimant la ligne un et la colonne un de notre matrice 𝐴. Nous avons donc le déterminant de la matrice deux par deux avec des éléments moins un, moins trois, trois et un.
De même, pour nos deuxièmes et troisièmes termes où nous avons moins l’élément 𝑎 un deux, soit moins moins un, plus l’élément 𝑎 un trois, qui est moins deux, multipliant le déterminant de chacun de leurs mineurs matricielles respectifs. Nous allons donc devoir calculer ces déterminants deux deux. Nous rappelons que pour une matrice deux deux 𝑀 avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑, son déterminant est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐.
Pour notre premier terme, alors, ce déterminant est moins un multiplié par un moins moins trois multiplié par trois et de même pour nos deuxièmes et troisièmes termes. Dans notre premier terme, puis entre parenthèses, nous avons moins un plus neuf, soit huit. Notre deuxième terme s’élève à moins huit et notre troisième terme à moins deux fois huit, de sorte que le déterminant de notre matrice 𝐴 est moins 48.
Maintenant, faisons de la place et notons notre déterminant, puis, trouvons la matrice adjointe de la matrice 𝐴 en nous rappelant qu’il s’agit de la transposée de la matrice des cofacteurs. Cela signifie bien sûr que nous devons calculer les cofacteurs, où le cofacteur 𝐶 𝑖𝑗 est égal à moins un élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗 multiplié par le déterminant de la matrice mineure 𝐴 𝑖𝑗. Notez que le facteur moins un élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗 nous donne le signe ou la parité du cofacteur. Pour une matrice trois trois, cela donne positif, négatif, positif, négatif, positif, négatif et positif, négatif, positif.
En fait, nous avons déjà vu trois de nos cofacteurs lors du calcul du déterminant de la matrice 𝐴. 𝐶 un un est le déterminant positif de la matrice mineure 𝐴 un un. Soit moins un, moins moins neuf, ce qui équivaut à huit. De même, 𝐶 un deux est le déterminant négatif de la matrice mineure 𝐴 un deux, et 𝐶 un trois est le déterminant positif de la matrice mineure 𝐴 un trois. Les trois termes de notre première rangée de cofacteurs s’élèvent à huit.
Écrivons donc maintenant les cofacteurs restants, en prenant soin d’utiliser les bons signes. Notre deuxième rangée de cofacteurs donne moins cinq, moins 11 et 13. Notre troisième rangée de cofacteurs donne un, moins 17 et sept. Notre matrice adjointe est alors la transposée de la matrice avec les éléments huit, huit, huit, moins cinq, moins 11, 13, un, moins 17 et sept.
En faisant de la place, nous nous rappelons que la transposée de la matrice est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes. Par conséquent, dans notre cas, notre première ligne avec les éléments huit, huit, huit devient notre première colonne. De même, notre deuxième ligne devient notre deuxième colonne et notre troisième ligne devient notre troisième colonne. Maintenant, rappelez-vous, nous recherchons l’inverse de la matrice 𝐴 et l’inverse de 𝐴 est un sur le déterminant de 𝐴 multiplié par sa matrice adjointe. Dans notre cas, puisque notre déterminant est moins 48, nous avons un sur moins 48 multiplié par la matrice adjointe qui est l’inverse de notre matrice 𝐴.
Alors maintenant, mettons cela dans notre équation. Nous avons 𝐴 moins un 𝐯 est égal à 𝐮, ce qui est la même chose que 𝐮 est égal à 𝐴 moins un 𝐯. En échangeant nos côtés pour la cohérence, nous procédons au produit du côté droit pour résoudre notre équation. Nous utilisons la multiplication matricielle à droite : pour notre première rangée, nous avons huit multiplié par deux plus moins cinq multiplié par moins un plus un multiplié par quatre et de même pour nos deuxièmes et troisièmes rangées. En évaluant chacune de nos lignes, nous avons moins un sur 48 multiplié par la matrice colonne avec les éléments 25, moins 41 et 31.
Maintenant, en assimilant cela à notre matrice colonne sur le côté gauche avec les éléments 𝑥, 𝑦 et 𝑧, nous avons 𝑥 est égal à moins 25 sur 48, nous avons 𝑦 est égal à moins 41 multiplié par moins un sur 48, ce qui est 41 sur 48, et 𝑧 est égal à moins 31 sur 48. Le point d’intersection des trois plans définis par les équations données a comme coordonnées 𝑥 est égal à moins 25 sur 48, 𝑦 est égal à 41 sur 48 et 𝑧 est égal à moins 31 sur 48.
