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Vidéo de question : Déterminer les dérivées premières de fonctions contenant des fonctions trigonométriques et exponentielles Mathématiques

Déterminez l’expression de la dérivée de la fonction définie par 𝑦 = 𝑒 ^ (𝑥) sin 7𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’expression de la dérivée de la fonction 𝑦 égale 𝑒 puissance 𝑥 fois sinus sept 𝑥.

On nous dit que 𝑦 est égal à 𝑒 puissance 𝑥 fois sin sept 𝑥. Nous devons déterminer la dérivée première de cette expression de 𝑦. Puisque 𝑦 est une fonction de 𝑥, nous devons donc déterminer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Pour faire cela, nous pouvons remarquer que 𝑦 est le produit de deux fonctions. Il s’agit de 𝑒 puissance 𝑥 multiplié par sin sept 𝑥. En fait, il s’agit du produit de deux fonctions dérivables. Nous savons comment calculer leurs dérivées.

Nous pouvons donc dériver cette fonction en utilisant la règle du produit. Rappelons que la règle du produit dit que pour des fonctions dérivables 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑓 de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑓 prime de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 plus 𝑔 prime de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥. Dans notre cas, nous cherchons à déterminer la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑒 puissance 𝑥 multipliée par sin sept 𝑥.

Nous pouvons donc le faire en utilisant la règle du produit. Nous allons définir 𝑓 de 𝑥 égal à 𝑒 puissance 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 égal à sinus sept 𝑥. Nous allons donc devoir trouver les expressions de 𝑓 prime de 𝑥 et de 𝑔 prime de 𝑥. Commençons par 𝑓 prime de 𝑥. Il s’agit de la dérivée de 𝑒 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥. Pour cela, rappelons que la dérivée de la fonction exponentielle 𝑒 puissance 𝑥 est égal à elle-même, 𝑒 puissance 𝑥.

Ainsi, 𝑓 prime de 𝑥 est juste égale à 𝑒 puissance 𝑥. Nous devons maintenant déterminer une expression de 𝑔 prime de 𝑥. Il s’agit de la dérivée de sin sept 𝑥 par rapport à 𝑥. Pour faire cela, rappelons une des règles de dérivation des fonctions trigonométriques. Pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée de sinus 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois cosinus 𝑎𝑥. Dans ce cas, la valeur de 𝑎 est égale à sept. Nous obtenons donc 𝑔 prime de 𝑥 est égal à sept fois cosinus de sept 𝑥.

Nous pouvons maintenant calculer la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥 en utilisant la règle du produit. Elle est égale à 𝑓 prime de 𝑥 fois g de 𝑥 plus 𝑔 prime de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥. En remplaçant dans les expressions 𝑓 de 𝑥, 𝑔 de 𝑥, 𝑓 prime de 𝑥 et 𝑔 prime de 𝑥, nous obtenons que 𝑦 prime est égal à 𝑒 puissance 𝑥 fois sinus sept 𝑥 plus sept fois cosinus sept 𝑥 multiplié par 𝑒 puissance 𝑥.

Nous pourrions laisser la réponse comme ceci ou nous pourrions factoriser par le facteur commun 𝑒 puissance 𝑥. Au lieu de cela, nous allons laisser les deux termes et nous allons écrire 𝑒 puissance 𝑥 au début du deuxième terme. Nous faisons cela pour éviter la confusion entre cosinus sept 𝑥 le tout multiplié par 𝑒 puissance 𝑥 et cosinus sept 𝑥 fois 𝑒 puissance 𝑥. Nous avons le résultat final.

Sachant que 𝑦 est égal à 𝑒 puissance 𝑥 fois sinus sept 𝑥, nous avons déterminer la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥 en utilisant la règle du produit. Nous avons obtenu que 𝑦 prime est égal à 𝑒 puissance 𝑥 fois sinus sept 𝑥 plus sept 𝑒 puissance 𝑥 multiplié par cosinus sept 𝑥.

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