Vidéo question :: Déterminer l’aire maximale d’un rectangle à partir de la somme de trois de ses côtés Mathématiques

Transcription de la vidéo

Un fermier veut créer un champ rectangulaire sur son terrain en utilisant un mur existant pour délimiter un côté. Déterminez au millième près l’aire maximale qu’il peut obtenir s’il possède une clôture de 177 mètres pour délimiter les trois autres côtés.

Considérons la configuration présente. Ce fermier a un mur sur son terrain et il a une longueur fixe de clôture, 177 mètres, avec laquelle il peut délimiter un champ rectangulaire. Le fermier veut choisir la longueur et la largeur de ce rectangle afin qu’il délimite la plus grande aire possible. L’aire d’un rectangle est donnée par sa longueur multipliée par sa largeur. Nous voulons donc maximiser la fonction 𝐴 égale 𝐿𝑊. Cependant, nous avons aussi une contrainte. La longueur totale de la clôture qui sera le double de la longueur plus la largeur – rappelez-vous, le mur constitue un côté de ce champ – doit être égale à 177. Nous avons donc un problème d’optimisation. Nous avons une fonction que nous souhaitons maximiser, soumise à une contrainte donnée.

Afin de maximiser l’aire de ce champ, nous devons trouver les points critiques de notre fonction 𝐴. Avant de pouvoir faire cela, nous devons exprimer 𝐴 en fonction d’une seule variable, soit la longueur, soit la largeur du champ. Nous pouvons réorganiser notre contrainte pour obtenir 𝑊 égale 177 moins deux 𝐿. Puis, en substituant cette expression de 𝑊 dans notre formule pour 𝐴, nous obtenons 𝐴 égale 𝐿 multiplié par 177 moins deux 𝐿. Développer les parenthèses donne 177𝐿 moins deux 𝐿 au carré. Maintenant, nous avons une expression pour 𝐴 en fonction de 𝐿 seulement.

Nous avons dit que si nous voulons maximiser 𝐴, nous devons trouver ses points critiques. Nous allons rappeler, tout d’abord, que les points critiques d’une fonction se rencontrent là où sa dérivée première est égale à zéro ou est indéfinie. Nous devons donc trouver la dérivée de 𝐴 par rapport à 𝐿. Nous pouvons appliquer la règle de puissance de la dérivation. Cela donne d𝐴 sur d𝐿 égale 177 moins deux multiplié par deux 𝐿. Soit 177 moins quatre 𝐿. Ensuite, nous posons cette dérivée première égale à zéro et résolvons pour 𝐿. Nous ajoutons quatre 𝐿 de chaque côté, puis divisons par quatre, ce qui donne 𝐿 est égal à 177 sur quatre ou 44,25 sous la forme d’un nombre décimal.

Nous savons alors que notre fonction 𝐴 a un point critique en cette valeur de 𝐿. Mais il y a deux autres choses que nous devons faire. Premièrement, nous devons évaluer l’aire du champ en substituant cette valeur de 𝐿 dans notre expression pour 𝐴, ce qui donne 44,25 multiplié par 177 moins deux fois 44,25, soit exactement 3916,125. Nous savons donc que nous avons ici un point critique de la fonction 𝐴. Cependant, nous devons confirmer qu’il s’agit bien d’un maximum. Pour ce faire, nous devons appliquer le test de la dérivée seconde.

Rappelons que notre dérivée première d𝐴 sur d𝐿 était de 177 moins quatre 𝐿. Ainsi, dériver à nouveau par rapport à 𝐿 donne d carré de 𝐴 sur d𝐿 au carré égale moins quatre. Nous n’avons pas besoin d’évaluer la dérivée seconde lorsque 𝐿 est égal à 44,25 car la dérivée seconde est en fait une constante. Il en va de même pour toutes les valeurs de 𝐿. La chose importante à noter est que cette dérivée seconde moins quatre est inférieure à zéro. Le test de la dérivée seconde nous dit que si la dérivée seconde d’une fonction est négative en un point critique, alors ce point critique est un maximum local.

Nous avons donc confirmé que cette aire est bien l’aire maximale que l’agriculteur peut obtenir avec 177 mètres de clôture. Notre réponse au problème, l’aire maximale que l’agriculteur peut délimiter avec cette longueur fixe de clôture est fr 3916,125 mètres carrés. Cela est en effet au millième près, comme demandé dans la question.