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Déterminez les équations des deux tangentes au cercle d’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale 125 qui sont inclinées par rapport à l’axe des 𝑥 positifs d’un angle de tangente deux.
Examinons les informations fournies. Le cercle d’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale 125 a pour centre l’origine zéro, zéro. Il n’est pas vraiment nécessaire de savoir que son rayon est égal à la racine carrée de 125, soit cinq racine de cinq unités. Ce qui nous intéresse plutôt est de trouver les équations des deux tangentes au cercle inclinées par rapport à l’axe des 𝑥 positifs d’un angle de tangente deux. Alors celles-ci ressemblent à peu près à ceci.
Mais que signifie leur inclinaison par rapport à l’axe des 𝑥 positifs d’un angle dont la tangente est deux? Eh bien, supposons que l’angle soit égal à 𝜃. Pensons à un triangle rectangle, nous savons que la tangente donne le rapport du côté opposé sur le côté adjacent dans ce triangle. Précisément, tangente 𝜃 égale côté opposé sur côté adjacent. Donc le rapport côté opposé sur côté adjacent est égal à deux. Mettons que le côté opposé mesure deux unités et que le côté adjacent mesure une unité. Alors le côté opposé divisé par le côté adjacent est égal à deux comme demandé.
Bien sûr, n’importe quel multiple de ces valeurs aurait convenu, mais nous verrons dans un instant pourquoi c’est le meilleur choix. Or, puisque les deux tangentes sont des droites, nous savons que nous pouvons utiliser la formule 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un pour trouver leurs équations. Ici 𝑚 est la pente de la droite, tandis que 𝑥 un, 𝑦 un est un point qui lui appartient. Et bien sûr, nous pouvons trouver la pente, 𝑚, en calculant la variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥. Ici, nous pouvons voir que la variation de 𝑦 vaut deux et que la variation de 𝑥 vaut un. La pente de la droite vaut donc deux divisé par un, ce qui est égal à deux.
Or, ce n’est pas un hasard que la pente de ces tangentes est égale à la valeur de la tangente de leur angle d’inclinaison. De manière générale, la pente d’une droite est égale à la tangente de son angle d’inclinaison. Nous avons donc la pente des deux droites; ils sont deux. Mais il va falloir trouver des points qui leur appartiennent. Nous allons donc revenir à l’équation du cercle; à savoir, 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale 125.
Or, connaître l’équation d’une courbe permet de trouver la pente de la courbe en un point donné en cherchant sa dérivée. Donc ce que nous allons faire c’est trouver la fonction dérivée de l’équation du cercle puis la fixer égale à deux. Ceci nous dira en quels points les tangentes touchent le cercle. Alors comment calculer la dérivée de l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale 125? Procédons terme par terme. Tout d’abord, calculons la dérivée de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. D’après la formule de la dérivée d’une puissance, nous multiplions par l’exposant puis nous retranchons un à cet exposant. Donc sa dérivée est simplement deux 𝑥.
Mais qu’en est-il de la dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑥? Procédons par dérivation implicite. Il s’agit d’une version spéciale de la dérivée d’une fonction composée. Ça consiste essentiellement à calculer la dérivée par rapport à 𝑦 puis à multiplier par d𝑦 sur d𝑥. La dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 est deux 𝑦. Donc la dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑥 est deux 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Ensuite, du membre de droite, la dérivée de 125 par rapport à 𝑥 est égale à zéro. Donc notre expression de la dérivée est deux 𝑥 plus deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 égale zéro.
Divisons par deux puis isolons d𝑦 sur d𝑥. Retranchons 𝑥 de chaque membre, puis divisons par 𝑦. Nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 𝑥 sur 𝑦. Nous voulons trouver les points où la pente est égale à deux car c’est la pente des tangentes qui nous intéresse. Nous fixons donc d𝑦 sur d𝑥 égal à deux. Donc deux égale moins 𝑥 sur 𝑦. En isolant 𝑥, en multipliant par 𝑦 puis en multipliant par moins un, nous obtenons moins deux 𝑦 égale 𝑥.
Ceci montre la relation entre les valeurs de 𝑥 et 𝑦 des deux points où les droites touchent le cercle. Ceci signifie que nous pouvons donc remplacer cela dans l’équation du cercle afin de trouver les deux points tangents. En remplaçant 𝑥 par moins deux 𝑦, notre équation devient moins deux 𝑦 au carré plus 𝑦 au carré égale 125. Moins deux 𝑦 au carré égale quatre 𝑦 au carré, donc le membre de gauche devient cinq 𝑦 au carré. Ensuite, nous divisons par cinq. Donc 𝑦 au carré est égal à 25.
La dernière étape est de prendre la racine carrée. Maintenant, nous devons penser aux deux racines plus et moins racine carrée de 25. Puisque la racine carrée de 25 est égale à cinq, alors 𝑦 est égal à plus ou moins cinq. Ensuite, nous pouvons remplacer ces valeurs dans l’équation 𝑥 égale moins deux 𝑦 pour trouver les valeurs de 𝑥 correspondantes. Nous obtenons alors que 𝑥 est égal à plus ou moins 10. Autrement dit, les deux tangentes passent par les points 10, moins cinq et moins 10, cinq.
Nous avons maintenant deux points appartenant aux deux tangentes et la valeur de leur pente. Nous pouvons donc utiliser ces valeurs dans les équations des droites. Commençons par le point 10, moins cinq — c’est ce point ici — nous obtenons 𝑦 moins moins cinq égale deux fois 𝑥 moins 10. En développant les parenthèses, ceci devient 𝑦 plus cinq égale deux 𝑥 moins 20. Et puis en retranchant deux 𝑥 et en ajoutant 20, nous trouvons que l’équation de la première droite est 𝑦 moins deux 𝑥 plus 25 égale zéro.
Recommençons pour le point moins 10, cinq; c’est celui-là. En remplaçant, nous obtenons 𝑦 moins cinq égale deux fois 𝑥 moins moins 10. Cela nous donne 𝑦 moins cinq égale deux 𝑥 plus 20. Réarranger encore une fois et nous trouvons que l’équation de cette droite est 𝑦 moins deux 𝑥 moins 25 égale zéro. Et donc nos équations sont 𝑦 moins deux 𝑥 plus 25 égale zéro et 𝑦 moins deux 𝑥 moins 25 égale zéro.