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Vidéo de question : Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’une fonction définie implicitement étant donnée la pente de cette tangente Mathématiques

Écrivez l’équation de la tangente à la courbe d’équation 9𝑦² = - 7𝑥 + 9 dont le coefficient directeur est égal à 7/18.

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Transcription de vidéo

Trouvez l’équation de la tangente à la courbe neuf 𝑦 au carré est égal à moins sept 𝑥 plus neuf dont la pente est sept sur 18.

Nous devons donc trouver l’équation de la tangente et on nous donne sa pente qui est égale à sept sur 18. Nous allons donc utiliser l’équation 𝑦 moins 𝑦 zéro est égal à 𝑚 multiplié par 𝑥 moins 𝑥 zéro qui est l’équation d’une droite passant par 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et de pente 𝑚. Nous allons tout d’abord trouver le point où la droite est tangente à la courbe. Ce sera donc le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro. Et deuxièmement, nous trouverons l’équation de la droite tangente sous la forme pente-point. Nous devons donc trouver 𝑥 zéro et 𝑦 zéro. Et nous le ferons en dérivant l’équation.

Nous allons donc devoir le faire implicitement par rapport à 𝑥. Nous voulons donc dériver les deux membres par rapport à 𝑥. Maintenant, pour le membre de droite, nous rappelons que la dérivée de 𝑎𝑥 est simplement 𝑎 et que la dérivée d’une constante est égale à zéro. Et ainsi, la dérivée de moins sept 𝑥 plus neuf est égale à moins sept. La dérivée du membre de gauche est un peu plus délicate. C’est parce que nous dérivons cette fonction de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous devons donc appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées.

Le théorème de dérivation des fonctions composées nous dit que d𝑓 sur d𝑥 est égal à d𝑓 sur d𝑦 multiplié par d𝑦 sur d𝑥. La fonction que nous voulons dériver est neuf 𝑦 au carré. Donc, si nous posons que 𝑓 est égal à neuf 𝑦 au carré, alors d𝑓 sur d𝑥 est égal à d𝑓 sur d𝑦 et ceci est la dérivée de neuf 𝑦 au carré par rapport à 𝑦. Nous pouvons le faire parce que nous connaissons la règle de dérivation des puissances. Ainsi, d𝑓 sur d𝑦 est égal à 18𝑦. Et cela est multiplié par d𝑦 sur d𝑥. E nous pouvons maintenant remettre cela dans notre calcul.

Nous avons donc que 18𝑦 multiplié par d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins sept. Nous avons maintenant une équation qui implique d𝑦 sur d𝑥. Réorganisons-la alors pour faire de d𝑦 sur d𝑥 le sujet. Nous divisons les deux membres par 18𝑦. Et nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins sept sur 18𝑦.

Maintenant, rappelez-vous que dans la question on nous a dit que la pente d𝑦 sur d𝑥 est égale à sept sur 18. Ainsi, en remplaçant d𝑦 sur d𝑥 par sept sur 18, nous avons que sept sur 18 est égal à moins sept sur 18𝑦. La résolution de cette équation nous donne que 𝑦 est égal à moins un. En remplaçant par cette valeur dans l’équation initiale à savoir neuf 𝑦 au carré est égal à moins sept 𝑥 plus neuf, nous obtenons que neuf fois moins un au carré est égal à moins sept 𝑥 plus neuf. Rappelez-vous que moins un au carré est simplement égal à un. En résolvant cette équation, nous trouvons que 𝑥 est égal à zéro.

Rappelez-vous que ces valeurs que nous avons trouvées sont les coordonnées du point en lequel la droite est tangente à la courbe. Donc, voici nos 𝑥 zéro, 𝑦 zéro. Et maintenant, nous devons utiliser l’équation sous la forme pente-point pour trouver la droite tangente.

En écrivant l’équation sous la forme pente-point avec 𝑥 zéro égal à zéro. 𝑦 zéro égal à moins un. Et la pente 𝑚 égale à sept sur 18. Nous obtenons que l’équation de la tangente est 𝑦 moins moins un est égal à sept sur 18 multiplié par 𝑥 moins zéro. 𝑦 moins moins un est simplement 𝑦 plus un. Et en développant les parenthèses du membre de droite, on obtient que 𝑦 plus un est égal à sept sur 18𝑥. Nous pouvons regrouper tous nos termes dans un seul membre de l’équation. Et nous pouvons multiplier tous nos termes par 18 pour nous débarrasser de la fraction et nous donner ainsi que 18𝑦 moins sept 𝑥 plus 18 est égal à zéro. Et ceci est notre réponse finale.

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