Transcription de la vidéo
À chaque nouveau rebond, une balle s'élève à 𝑟 fois la hauteur du rebond précédent. On observe qu'à son 6e rebond, elle atteint un dixième de la hauteur du premier rebond. Quelle est la valeur de 𝑟? Arrondissez votre réponse au centième près.
Pensons à ce qui se passe réellement ici. La balle est lâchée. Chaque rebond est légèrement plus court que le précédent. Disons que la balle commence à une hauteur de ℎ unités. Puisque la balle rebondit à 𝑟 fois sa hauteur précédente après chaque rebond, alors après le premier rebond, elle atteindra une hauteur de 𝑟 fois ℎ unités. Ensuite, après le deuxième rebond, elle atteindra une hauteur de 𝑟 fois 𝑟ℎ ou 𝑟 au carré ℎ. Ainsi, si nous prenons chacune des hauteurs de la balle, nous voyons que nous générons une suite géométrique. Il s’agit d’une suite où chaque terme est trouvé en multipliant le terme précédent par un nombre non nul fixe. Nous appelons cela la raison. Ici, nous voyons que la raison est simplement 𝑟.
En fait, il existe une formule que nous pouvons utiliser pour trouver un terme dans une suite géométrique. Pour une suite géométrique de premier terme 𝑎 et de raison 𝑟, le terme de rang 𝑛, 𝑎 𝑛, est 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un. Maintenant, dans ce cas, notre premier terme est ℎ, mais notre raison est 𝑟. Ainsi, le terme de rang 𝑛 de notre suite est 𝑎 𝑛 égal à ℎ fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un.
Maintenant, on nous donne quelques informations sur la hauteur de la balle au sixième rebond. Nous savons qu’au sixième rebond, 𝑛 sera égal à sept puisque nous trouvons la hauteur de la balle après ce rebond. On nous dit que la balle est observée en rebondissant à une hauteur de un dixième de sa hauteur initiale, soit un dixième de ℎ. Cela signifie que le septième terme de notre suite est un dixième de ℎ. Nous pouvons substituer 𝑛 est égal à sept et 𝑎 𝑛 est égal à un dixième de ℎ dans notre formule. Nous obtenons un dixième de ℎ est égal à ℎ fois 𝑟 à la puissance sept moins un ou un dixième de ℎ est égal à ℎ𝑟 à la puissance six.
Nous allons diviser par ℎ. Ainsi, nous trouvons qu'un dixième est égal à 𝑟 à la puissance six. Nous pourrions utiliser des logarithmes pour résoudre cette équation pour déterminer 𝑟. Alternativement, si nos calculatrices le permettent, nous trouvons simplement la racine sixième des deux membres. Normalement, pour des puissances paires de 𝑟, nous chercherions à trouver à la fois la racine positive et la racine négative. Dans ce cas cependant, nous savons que 𝑟 doit être un nombre positif. Ainsi, 𝑟 est égal à la racine sixième d’un dixième. Cela nous donne 0,6812 etc, ce qui est 0,68 arrondi au centième près. Ainsi, nous disons que 𝑟 est égal à 0,68.
