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Vidéo de question : Déterminer le sinus et le cosinus d’un angle dans un triangle rectangle Mathématiques

Trouvez sin 𝐶 cos 𝐶 sachant que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵, où 𝐴𝐵 = 8 cm et 𝐴𝐶 = 17 cm.

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Transcription de vidéo

Trouvez sinus 𝐶 multiplié par cosinus 𝐶 sachant que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵, où 𝐴𝐵 est égal à huit centimètres et 𝐴𝐶 est égal à 17 centimètres.

Afin de répondre à cette question, nous utiliserons nos connaissances de la trigonométrie dans les triangles rectangles. Les rapports trigonométriques nous disent que le sinus de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Le cosinus de l’angle 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Et la tangente de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé sur le côté adjacent. Une façon de s’en souvenir est d’utiliser l’acronyme SOHCAHTOA.

Dans cette question, l’angle 𝜃 est au point 𝐶 de notre triangle. Nous savons que l’hypoténuse de tout triangle rectangle est le côté opposé à l’angle droit et est le côté le plus long. Dans ce cas, il s’agit de la longueur 𝐴𝐶, qui est égale à 17 centimètres. Ce côté 𝐴𝐵 est opposé à l’angle 𝐶, et il a une longueur de huit centimètres. Le côté 𝐵𝐶 est le côté adjacent de notre triangle.

Afin de calculer la longueur de ce côté de notre triangle, nous allons utiliser le théorème de Pythagore, qui énonce que 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à 𝑧 au carré, où 𝑧 est la longueur de l’hypoténuse ou du côté le plus long du triangle. Dans cette question, 𝐵𝐶 au carré plus huit au carré est égal à 17 au carré. Huit au carré est égal à 64 et 17 au carré est égal à 289. Nous pouvons alors soustraire 64 des deux membres de cette équation. 𝐵𝐶 au carré est donc égal à 225. Et en prenant la racine carrée des deux membres nous obtenons que 𝐵𝐶 est égal à 15. Comme la longueur du côté doit être positive, nous avons que 𝐵𝐶 est égal à 15 centimètres, notant que ce triangle est un triplet de Pythagore huit-15-17.

Nous pouvons maintenant calculer les valeurs de sinus 𝐶 et cosinus 𝐶. Comme sinus 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse, sinus 𝐶 est égal à huit sur 17. De la même manière, comme le cosinus de l’angle 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse, le cosinus de l’angle 𝐶 est de 15 sur 17. Pour calculer le produit de deux fractions, il suffit de multiplier séparément les numérateurs et les dénominateurs. Huit multiplié par 15 est égal à 120, et 17 multiplié par 17, ou 17 au carré, est égal à 289. Dans le triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶 comme représenté, sinus 𝐶 multiplié par cosinus 𝐶 est égal à 120 sur 289.

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