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Vidéo de question : Déterminer la valeur d'un coefficient en utilisant l'angle entre une droite et un plan Mathématiques

Si l'angle compris entre le plan d’équation 3𝑥 + 𝑏𝑦 - 5𝑧 = 2 et la droite d’équation 𝑥 + 2 = (3 - 𝑦)/2 = (𝑧 - 1)/2 est de 45°, alors déterminez la valeur de la constante positive 𝑏 sachant que 0 < 𝑏 < 10.

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Transcription de vidéo

Si l'angle compris entre le plan trois 𝑥 plus 𝑏𝑦 moins cinq 𝑧 égale deux et la droite d’équation 𝑥 plus deux égale trois moins 𝑦 sur deux égale 𝑧 moins un sur deux est de 45 degrés, alors déterminez la valeur de la constante positive 𝑏 sachant que 𝑏 est supérieur à zéro et inférieur à 10.

Dans cette question, nous avons l'équation d'un plan et l'équation d'une droite. L'équation d'un plan comporte une valeur inconnue 𝑏. Nous devons déterminer la valeur de 𝑏 en utilisant le fait qu’il s’agit d’une constante positive inférieure à 10 et que l'angle entre la droite et le plan est de 45 degrés. Pour déterminer cette valeur 𝑏, il faut d'abord se rappeler comment nous trouvons l'angle entre une droite et un plan. Nous savons que si le vecteur 𝐝 est un vecteur directeur d'une droite 𝐿 et que le vecteur 𝐧 est un vecteur normal à un plan 𝑃, alors l'angle aigu 𝜃 entre la droite et le plan satisfera l'équation sinus 𝜃 égale la valeur absolue du produit scalaire de 𝐧 et 𝐝 divisé par la norme du vecteur 𝐧 fois la norme du vecteur 𝐝.

Une dernière petite chose à noter. Puisque nous prenons le produit scalaire des vecteurs 𝐧 et 𝐝, nous travaillons dans l’espace pour notre droite et notre plan. On nous dit dans la question que l'angle entre la droite et le plan donnés est de 45 degrés, donc notre valeur de 𝜃 est 45. Nous pouvons trouver les vecteurs 𝐝 et 𝐧 en examinant les équations de la droite dans le plan. Nous devons commencer par trouver le vecteur directeur de la droite. Pour trouver le vecteur directeur de cette droite, nous rappelons qu'une droite de la forme 𝑥 moins 𝑥 un sur 𝑎 égale 𝑦 moins 𝑦 un sur 𝑏 égale 𝑧 moins 𝑧 un sur 𝑐 aura un vecteur directeur de 𝑎, 𝑏, 𝑐. Notre droite est presque donnée sous cette forme. Nous devons juste procéder à quelques modifications.

Pour commencer, dans la partie gauche de l'équation, nous allons diviser par un. Puis, dans le numérateur de la partie centrale de cette équation, nous n'avons pas 𝑦 au numérateur ; nous avons moins 𝑦. Nous devons donc multiplier le numérateur et le dénominateur par moins un. En développant, nous obtenons la forme requise et nous pouvons alors trouver le vecteur directeur de cette droite. Le vecteur directeur 𝐝 est le vecteur un, moins deux, deux.

Déterminons maintenant le vecteur normal au plan. Pour cela, nous rappelons que le plan d’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 égale zéro aura comme vecteur normal 𝑎, 𝑏, 𝑐. Autrement dit, les composantes du vecteur normal au plan sont les coefficients des variables et correspond au vecteur trois, 𝑏, moins cinq. Nous pouvons maintenant substituer notre valeur pour 𝜃 et nos vecteurs 𝐧 et 𝐝 dans notre équation. Seulement, il est plus facile de calculer séparément le numérateur et le dénominateur du côté droit.

Commençons donc par libérer de l’espace, puis calculons le produit scalaire des vecteurs 𝐧 et 𝐝. Pour cela, rappelons que pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs de même dimension, il suffit de calculer la somme des produits des composantes correspondantes des vecteurs. Appliquant cela, nous obtenons un fois trois plus moins deux fois 𝑏 plus deux fois moins cinq, ce qui donne moins deux 𝑏 moins sept.

Maintenant, déterminons les normes des deux vecteurs. Nous commençons par la norme du vecteur 𝐧. Nous pouvons la trouver en rappelant que la norme d'un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Ainsi, nous obtenons la racine carrée de trois au carré plus 𝑏 au carré plus moins cinq au carré, ce qui donne, la racine carrée de 34 plus 𝑏 au carré. Nous pouvons faire de même pour trouver la norme du vecteur 𝐝. Il s’agit de la racine carrée de un au carré plus moins deux au carré plus deux au carré, ce qui donne la racine carrée de neuf, qui est juste trois.

Maintenant, substituons toutes ces informations dans notre équation impliquant l'angle aigu entre la droite et le plan. Cela nous donne alors que sinus 45 degrés égale la valeur absolue de moins deux 𝑏 moins sept divisé par trois fois racine carrée de 34 plus 𝑏 au carré. Nous voulons maintenant résoudre cette équation pour déterminer 𝑏. Pour ce faire, nous remarquons d'abord que sinus 45 degrés égale racine de deux sur deux. Nous pouvons également multiplier les deux membres de l'équation par trois racine 34 plus 𝑏 au carré. Cela nous donne donc racine de deux sur deux fois trois fois racine carrée de 34 plus 𝑏 au carré égale à la valeur absolue de moins deux 𝑏 moins sept.

N'oubliez pas que la question nous indique que 𝑏 est positif. Ainsi, moins deux fois 𝑏 correspond à une valeur négative fois une valeur positive. Il s'agit d'un nombre négatif. Nous soustrayons ensuite sept, nous obtenons donc une valeur négative. Lorsque nous prenons la valeur absolue d'un nombre négatif, il suffit de le multiplier par moins un. Le côté droit de cette équation se simplifie donc pour nous donner deux 𝑏 plus sept.

Nous pouvons aussi simplifier le côté gauche de cette équation. Nous avons racine de deux fois racine 34 𝑏 au carré. Nous pouvons simplifier cela comme étant racine carrée de deux fois 34 plus 𝑏 au carré. Nous obtenons ainsi racine carrée de 68 plus deux 𝑏 au carré. Nous devons multiplier ce résultat par trois sur deux. Seulement, nous allons conserver simplement le facteur trois, puis multiplier les deux membres de notre équation par deux. Nous obtenons ainsi que trois racine 68 plus deux 𝑏 au carré égale deux fois deux 𝑏 plus sept. Nous pouvons développer le côté droit de notre équation en distribuant le facteur deux. Cela nous donne quatre 𝑏 plus 14.

Maintenant, pour résoudre notre équation afin de déterminer 𝑏, nous allons devoir élever au carré les deux membres de notre équation. Au niveau du côté gauche, trois au carré donne neuf. Pour élever au carré une racine carrée, il suffit d'enlever le symbole de la racine carrée. Nous obtenons neuf fois 68 plus deux 𝑏 au carré. À droite, nous avons le carré d'un binôme. Nous pouvons développer cette équation en utilisant la double distributivité ou la formule du binôme de Newton. Dans tous les cas, nous obtenons 16𝑏 au carré plus 112𝑏 plus 196.

Nous allons maintenant développer cette expression puis réarranger pour obtenir une équation du second ordre en 𝑏. Nous obtenons deux 𝑏 au carré moins 112𝑏 plus 416 égale zéro. Nous pouvons simplifier un peu en remarquant que nos trois termes ont un facteur commun de deux. Nous pouvons donc diviser notre équation par deux pour obtenir 𝑏 au carré moins 56𝑏 plus 208 égale zéro. Nous pouvons alors résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique ou bien en cherchant deux nombres qui se multiplient pour donner 208 et s'additionnent pour donner moins 56.

Dans les deux cas, nous pouvons trouver deux solutions. Soit notre valeur de 𝑏 sera égale à quatre, soit elle sera égale à 52. Cependant, on nous dit dans la question que la valeur de 𝑏 est positive et inférieure à 10. Une seule valeur est donc possible pour 𝑏. Nous avons donc pu montrer qu'il n'y avait qu'une seule valeur possible de la constante positive 𝑏 entre zéro et 10. Cette valeur de 𝑏 était quatre.

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