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Vidéo de question : Calcul du nombre de combinaisons d’entrées possibles dans un circuit logique Physique

La figure représente un circuit logique composé de trois portes OR. Combien y a-t-il de combinaisons possibles différentes pour les valeurs d’entrée de ce circuit ?

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Transcription de vidéo

La figure représente un circuit logique composé de trois portes OR. Combien y a-t-il de combinaisons possibles différentes pour les valeurs d’entrée de ce circuit ?

Nous avons ici un schéma qui représente un circuit logique composé de trois portes OR. Le circuit possède quatre entrées, repérées avec les lettres 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Les entrées 𝐴 et 𝐵 correspondent aux entrées de cette porte OU en haut à gauche et les entrées 𝐶 et 𝐷 sont celles de la porte OR en bas à gauche. Les sorties de ces deux portes à gauche deviennent ensuite les entrées de cette troisième porte OR à droite du circuit. La sortie de cette porte OR à droite est la sortie finale du circuit logique.

Cette question est un peu particulière et nous ne nous intéressons pas du tout à la valeur de la sortie. En fait, la question porte sur les quatre entrées. Plus précisément, on nous demande de déterminer le nombre de combinaisons possibles différentes pour les valeurs d’entrée. Pour répondre à cette question, rappelons que dans un circuit logique, il n’y a toujours que deux valeurs possibles, qui sont zéro ou un. Donc toutes les entrées de ce circuit peuvent valoir zéro ou un.

L’entrée 𝐴 peut ainsi valoir zéro ou un. Et indépendamment de la valeur de l’entrée 𝐴, l’entrée 𝐵 peut également valoir zéro ou un. Et encore une fois, indépendamment des valeurs des autres entrées, l’entrée 𝐶 peut valoir zéro ou un et l’entrée 𝐷 peut valoir zéro ou un. Nous avons donc quatre entrées différentes et pour chacune de ces entrée, il y a deux possibilités de valeur.

Nous cherchons à déterminer le nombre de combinaisons possibles différentes pour ces quatre valeurs d’entrée. Alors, il y a plusieurs façons de procéder. Une méthode serait de passer en revue méthodiquement toutes les possibilités et de les écrire explicitement, puis de les compter. Mais cette méthode prend beaucoup de temps et il y a aussi un risque d’oublier de compter une des combinaisons. Et dans ce cas, la réponse obtenue serait fausse.

Mais, heureusement, il existe une meilleure méthode et c’est ce que nous allons utiliser. Nous savons qu’il y a quatre entrées différentes et que chacune peut prendre deux valeurs. Les valeurs de ces entrées sont totalement indépendantes les unes des autres, ce qui signifie, par exemple, que le fait que l’entrée 𝐴 vaille zéro ou un n’a aucun impact sur les valeurs des entrées 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Ces entrées peuvent être indépendamment égales à zéro ou à un. Alors, le nombre total de combinaisons possibles différentes doit être égal aux deux possibilités de l’entrée 𝐴 multipliées par les deux possibilités de l’entrée 𝐵 multipliées par les deux possibilités de l’entrée 𝐶 et enfin multipliées par les deux possibilités de l’entrée 𝐷. Donc, le nombre total de combinaisons est égal à deux fois deux fois deux fois deux. Il y a un facteur deux pour chacune des quatre entrées du circuit logique.

Alors, nous pourrions simplement continuer et calculer cette expression. Mais, nous pouvons essayer d’aller un peu plus loin dans la compréhension du problème en remarquant que ce produit peut également s’écrire deux puissance quatre. Et en considérant cette expression qui nous donne le nombre de combinaisons différentes, nous pouvons voir que le deux correspond au nombre de valeurs différentes prises par chaque entrée, car chacune des entrées peut valoir zéro ou un. Nous pouvons également voir que le quatre, la puissance de deux, correspond au nombre d’entrées, car nous avons quatre entrées 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷.

En fait, pour aller plus loin, le résultat que nous avons obtenu peut être généralisé. Si au lieu de quatre entrées, nous avons un circuit logique avec un nombre quelconque d’entrées, que nous appelons 𝑁, alors le nombre de combinaisons possibles différentes pour les valeurs de ces entrées est égal à deux puissance 𝑁. En effet, chacune des entrées 𝑁 peut prendre deux valeurs, zéro ou un. Alors, de la même manière que nous avons déterminé que pour quatre entrées, le nombre de combinaisons est égal à deux fois deux fois deux fois deux, soit quatre facteurs valant deux et cela nous a donné deux puissance quatre, pour 𝑁 entrées, nous obtenons un produit de 𝑁 facteurs valant deux, ce qui peut s’écrire deux puissance 𝑁.

Finalement, revenons à la question, dans le cas de quatre entrées, nous savons que le nombre de combinaisons est égal à deux puissance quatre. En calculant cette expression, nous obtenons que le nombre de combinaisons possibles différentes pour les valeurs d’entrée de ce circuit est 16.

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