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Vidéo de question : Calcul des probabilités à partir d’une loi normale dans un contexte réel Mathématiques

Les salaires mensuels des ouvriers d’une usine sont distribués selon une loi normale avec une moyenne de 210 livres et un écart-type de 10 livres. Déterminez la probabilité de choisir au hasard un ouvrier ayant un salaire strictement compris entre 184 et 233 livres.

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Transcription de vidéo

Les salaires mensuels des ouvriers d’une usine suivent une loi normale de moyenne de 210 livres et d’un écart-type de 10 livres. Déterminez la probabilité de choisir au hasard un ouvrier dont le salaire est compris entre 184 et 233 livres.

On nous dit que la série statistique suit une loi normale. Il a une moyenne 𝜇 de 210 livres et un écart-type 𝛿 de 10 livres. Nous cherchons à déterminer la probabilité de choisir un ouvrier dont le salaire est compris entre 184 et 233 livres. Nous choisissons 𝑥 pour représenter le salaire de l’ouvrier. Nous essayons de trouver la probabilité que 𝑥 soit strictement supérieur à 184 et strictement inférieur à 233. Pour ce faire, nous allons devoir trouver les scores 𝑧 qui correspondent à 184 et 233.

Nous utilisons la formule 𝑥 moins 𝜇 sur 𝛿. Cela permet de standardiser les données. Nous pourrons ainsi lire la probabilité à partir d’un tableau de loi normale, avec une moyenne de zéro et un écart-type de un. Si nous substituons 184 à 𝑥 dans cette formule, nous obtenons la valeur 𝑧 égale à 184 moins la moyenne, soit 210, le tout sur l’écart-type 10, Cela donne moins 2,6. Pour la valeur 𝑥 de 233, elle devient 233 moins 210, encore une fois, sur 10, soit 2,3.

Ainsi, nous pouvons dire que la probabilité qui nous intéresse peut être déterminée en trouvant la probabilité que 𝑧 soit strictement supérieur à moins 2,6 et strictement inférieur à 2,3. A ce stade, considérons la forme de la courbe faite par des données suivant une loi normale. Cela donne cette forme de cloche. Elle est complètement symétrique par rapport à la moyenne et l’aire sous la courbe est un.

Nous devons trouver l’aire ombrée. Comme les probabilités sont cumulées, nous pouvons dire que nous pouvons trouver cela en soustrayant la probabilité que 𝑧 soit strictement inférieur à moins 2,6 - c’est la plus basse - de la probabilité que 𝑧 soit strictement inférieur à 2,3. Maintenant, la probabilité que 𝑧 soit strictement inférieur à 2,3 peut être trouvée en recherchant 2,3 dans le tableau de loi normale. Nous obtenons 0,9893. Cependant, la probabilité que 𝑧 soit strictement inférieur à moins 2,6 est un peu plus délicate, car nous n’avons pas de valeurs négatives dans notre tableau.

C’est là que la symétrie de la courbe est importante. Nous pouvons voir que puisque la courbe est symétrique par rapport à la moyenne, la probabilité que 𝑧 soit strictement inférieur à moins 2,6 est la même que la probabilité que 𝑧 soit strictement supérieur à 2,6. Mais encore une fois, nous ne pouvons pas trouver cette probabilité en regardant 2,6 dans le tableau. Le tableau nous indiquera la probabilité que 𝑧 soit strictement inférieur à 2,6.

Nous utilisons donc plutôt le fait que l’aire sous la courbe vaut un. Nous pouvons voir que cette aire de la région ombrée peut être trouvée en soustrayant la probabilité que 𝑧 soit strictement inférieur à 2,6 de un. Si nous recherchons une valeur z de 2,6 dans ce tableau, cela nous donne 0,9953. Un moins 0,9953 donne 0,0047.

Ainsi, la probabilité que 𝑧 soit strictement supérieur à 2,6 et, par conséquent, la probabilité que 𝑧 soit strictement inférieur à moins 2,6 est de 0,0047. 0,9893 moins 0,0047 est égal à 0,9846. Ainsi, la probabilité de choisir au hasard un ouvrier avec un salaire compris entre 184 et 233 livres est de 0,9846.

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