Transcription de la vidéo
Trouvez l’ensemble solution de 𝑥 multiplié par 𝑥 moins 19 égale moins 15𝑥 sur l’ensemble des nombres réels.
L’ensemble solution signifie que nous cherchons à trouver toutes les valeurs de la variable, dans ce cas 𝑥, qui vérifient l’équation donnée. On nous a également dit dans la question que nous ne sommes intéressés que par les valeurs de 𝑥 qui sont des nombres réels. Commençons par distribuer les parenthèses sur le membre gauche de notre équation. 𝑥 multiplié par 𝑥 donne 𝑥 au carré et 𝑥 multiplié par moins 19 donne moins 19𝑥. Ainsi, notre équation devient 𝑥 au carré moins 19𝑥 égale moins 15𝑥.
Ensuite, nous voulons rassembler tous les termes du même côté de l’équation, ce que nous pouvons faire en ajoutant 15𝑥 à chaque membre. Sur le membre gauche, nous avons 𝑥 au carré moins quatre 𝑥. Sur le membre droit, nous avons maintenant zéro. Ce que nous devrions maintenant voir, ce qui n’était peut-être pas évident auparavant, c’est que nous avons une équation du second degré. En fait, il s’agit de l’un des types d’équation du second degré les plus simples car nous n’avons pas de terme constant ou notre terme constant est égal à zéro. Nous pouvons résoudre cette équation du second degré en factorisant.
Nos deux termes de 𝑥 au carré et moins quatre 𝑥 partagent un facteur commun de 𝑥. Nous pouvons donc factoriser par 𝑥. À l’intérieur des parenthèses, nous avons besoin des deux termes que nous devons multiplier par 𝑥 pour donner l’équation d’origine sur le membre gauche. 𝑥 multiplié par 𝑥 donne 𝑥 au carré et 𝑥 multiplié par moins quatre donne moins quatre 𝑥. Ainsi, la forme factorisée de notre équation du second degré est 𝑥 multiplié par 𝑥 moins quatre est égal à zéro. Maintenant, nous avons deux facteurs qui se multiplient pour donner zéro. La seule façon dont cela peut se produire est si au moins l’un des facteurs individuels est lui-même égal à zéro.
Ainsi, pour trouver toutes les valeurs de l’ensemble solution de cette équation, nous prenons chaque facteur à son tour, nous le mettons égal à zéro, puis résolvons l’équation résultante. Nous avons soit 𝑥 est égal à zéro, ce qui ne nécessite aucun travail supplémentaire, soit 𝑥 moins quatre est égal à zéro. Cette deuxième équation peut être résolue en ajoutant simplement quatre à chaque membre, ce qui donne 𝑥 est égal à quatre. Par conséquent, il y a deux valeurs dans l’ensemble solution de cette équation, les valeurs zéro et quatre.
Nous pouvons bien sûr vérifier chacune de ces valeurs en substituant dans chaque membre de l’équation d’origine. Par exemple, lorsque 𝑥 est égal à quatre, 𝑥 multiplié par 𝑥 moins 19 donne quatre multiplié par moins 15, ce qui est moins 60. Sur le membre droit, moins 15𝑥 est moins 15 multiplié par quatre, ce qui est aussi moins 60. Ainsi, cela confirme que 𝑥 égal à quatre est une solution valide à cette équation. Nous devons être particulièrement prudents lorsque nous factorisons cette équation du second degré. Une erreur courante consiste à diviser simplement l’équation 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 égale zéro par 𝑥, laissant 𝑥 moins quatre égal à zéro.
Cependant, si nous le faisons, nous perdons l’une des valeurs de notre ensemble de solutions. Notre seule réponse serait 𝑥 égale quatre. Nous aurions perdu la solution valable 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, en factorisant cette équation du second degré une fois que nous avons un membre égal à zéro, puis en résolvant les deux équations linéaires résultantes, nous avons trouvé l’ensemble solution de cette équation. Il s’agit de l’ensemble des valeurs zéro, quatre.
