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Vidéo de question : Dériver des fonctions impliquant des fonctions trigonométriques en utilisant la règle du produit Mathématiques

Déterminez l’expression de la dérivée de la fonction définie par 𝑓(𝑡) = 𝑡 sin 5𝜋𝑡.

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Transcription de vidéo

Déterminez la dérivée de 𝑓 de 𝑡 est égal à 𝑡 sin de cinq 𝜋𝑡.

Nous avons une fonction de 𝑡 qui est en fait le produit de deux fonctions. On pourrait dire que l’une des fonctions est 𝑡. Et l’autre est sin de cinq 𝜋𝑡. Comment trouver alors la dérivée du produit de deux fonctions? Pour deux fonctions 𝑢 et 𝑣 de 𝑥, la dérivée de 𝑢 fois 𝑣 est 𝑢 fois la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑥 plus 𝑣 fois la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥.

Maintenant, bien sûr, notre fonction est une fonction de 𝑡. Nous changeons donc cela légèrement en la dérivée de 𝑢𝑣 par rapport à 𝑡. Et cela signifie que nous pouvons laisser 𝑢 comme égale à 𝑡 car c’est la première fonction. Et nous pouvons poser que 𝑣 est égale au sin de cinq 𝜋𝑡 parce que c’est la deuxième fonction de 𝑡.

Nous pouvons voir que nous allons devoir les dériver par rapport à 𝑡. Si nous dérivons 𝑢 par rapport à 𝑡, nous obtenons simplement un. Mais dériver 𝑣 par rapport à 𝑡 est un peu plus délicat. Nous pourrions utiliser le théorème de dérivation des fonctions composées. Mais nous n’en avons pas besoin. Nous pouvons appliquer un résultat général. Celui-ci énonce que si nous dérivons le sin d’une certaine constante multipliée par 𝑡, nous obtenons cette constante multipliée par le cos de cette constante multipliée par 𝑡. Donc, dans ce cas, la dérivée de sin de cinq 𝜋𝑡 est cinq 𝜋 multiplié par cos de cinq 𝜋𝑡.

Il ne nous reste plus qu’à remplacer par ceci dans notre équation exprimant la règle du produit. 𝑢 multiplié par 𝑑𝑣 𝑑𝑡 est 𝑡 multiplié par cinq 𝜋 cos cinq 𝜋𝑡. Et 𝑣 multiplié par 𝑑𝑢 𝑑𝑡 est sin cinq 𝜋𝑡 multiplié par un, ce qui donne cinq 𝜋𝑡 multiplié par cos cinq 𝜋𝑡 plus sin de cinq 𝜋𝑡.

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