Transcription de la vidéo
Un faisceau d’électrons avec un vecteur vitesse, 𝑣, traverse un cristal dans lequel les atomes ont une séparation moyenne de 𝑑 égale à 1,2 fois 10 puissance moins 10 mètres, comme le montre le schéma. Une figure de diffraction d’anneaux concentriques est formée sur l’écran, enregistrant les positions des électrons qui y arrivent, derrière le cristal. La diffraction maximale se produit lorsque le faisceau incident est normal au cristal et alors, un seul point est observé. Pour la diffraction maximale, la longueur d’onde est égale à deux fois 𝑑. Calculez 𝑣 dans le cas de la diffraction maximale. Utilisez une valeur de 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes pour la masse des électrons et utilisez une valeur de 6,63 fois 10 puissance moins 34 joules secondes pour la constante de Planck.
Dans ce scénario, nous avons un faisceau d’électrons approchant des atomes dans un réseau cristallin. Les atomes de ce réseau sont représentés par ces points noirs, et nous voyons qu’ils sont séparés par une distance 𝑑. On nous dit que le faisceau d’électrons incident est normal soit à un angle de 90 degrés sur le cristal. Les électrons traversent le cristal et sont diffractés ou redirigés. Lorsque les électrons atteignent un écran que nous pourrions mettre juste derrière le cristal, ils forment ce qu’on appelle une figure de diffraction. On nous dit que lorsque le faisceau d’électrons est incident sur le cristal de manière normale, comme c’est le cas, une diffraction maximale se produit et un seul point apparaît à l’écran.
Sachant tout cela, nous voulons déterminer le vecteur vitesse 𝑣 des électrons entrants. Pour commencer à faire cela, rappelons de l’énoncé de notre problème que la distance de séparation entre les atomes de ce cristal est de 1,2 fois 10 puissance moins 10 mètres. On nous dit également que la longueur d’onde de ces électrons, et nous appellerons cette longueur d’onde 𝜆, est égale à deux fois 𝑑 dans un cas de diffraction maximale comme nous l’avons ici. Maintenant, puisque les électrons sont des particules, il peut sembler étrange de dire qu’ils ont une longueur d’onde. Ce fait est cependant confirmé par ce qu’on appelle la relation de Broglie. Cette relation dit que tout objet qui a une quantité de mouvement a une longueur d’onde 𝜆 égale à la constante de Planck ℎ divisée par la quantité de mouvement de l’objet.
Puisque nos électrons entrants ont une quantité de mouvement, c’est-à-dire qu’ils ont une masse et un vecteur vitesse, alors la relation de Broglie nous dit qu’il est également logique de parler de leur longueur d’onde. En résumé, la quantité de mouvement d’un objet est égale à sa masse multipliée par son vecteur vitesse. Cette équation est précise tant que le vecteur vitesse d’un objet n’est pas proche de la vitesse de la lumière dans le vide 𝑐. Ici, nous voulons déterminer le vecteur vitesse de l’électron, donc nous ne saurons pas jusqu’à la fin si 𝑣 est presque égal à la vitesse de la lumière. Jusqu’à ce que nous le découvrions, supposons que ce ne soit pas le cas. Disons que le vecteur vitesse de l’électron est significativement inférieure à la vitesse de la lumière 𝑐 et que 𝑃 est vraiment égal à 𝑚 fois 𝑣.
En utilisant cette hypothèse, nous pouvons dire que la longueur d’onde de l’un de nos électrons est égale à la constante de Planck divisée par la masse de l’électron multipliée par son vecteur vitesse. En multipliant les deux côtés de cette équation par 𝑣 sur 𝜆, sur le côté gauche 𝜆 annule, et sur le côté droit le vecteur vitesse 𝑣 s’annule. Nous avons alors que le vecteur vitesse de l’électron 𝑣 est égale à la constante de Planck sur 𝑚 fois 𝜆. Rappelons à ce stade que 𝜆 peut être remplacé par deux fois 𝑑, la distance de séparation entre les atomes de notre cristal. Avec cette équation pour le vecteur vitesse 𝑣, nous réalisons que nous connaissons la constante de Planck ℎ, la masse d’un électron 𝑚 et la distance de séparation 𝑑. Nous insérons 6,63 fois 10 puissance moins 34 joules seconde pour la constante de Planck, 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes pour la masse d’un électron, et 1,2 fois 10 puissance moins 10 mètres pour 𝑑.
Lorsque nous calculons cette fraction, avec deux chiffres significatifs, nous obtenons un résultat de 3,0 fois 10 puissance six mètre par seconde. Notez que nous n’avons gardé que deux chiffres significatifs, car c’est ainsi qu’est donnée notre distance de séparation 𝑑.
Avant donner ce résultat comme notre réponse finale, confirmons que notre hypothèse selon laquelle le vecteur vitesse 𝑣 est significativement inférieure à la vitesse de la lumière 𝑐 est correcte. La vitesse de la lumière dans le vide est d’environ trois fois 10 puissance huit mètre par seconde. En utilisant le vecteur vitesse 𝑣 que nous venons de déterminer, 𝑐 divisé par 𝑣 vaut environ 100. Cela signifie que 𝑐 est à peu près 100 fois plus grande que le vecteur vitesse de l’électron 𝑣 que nous avons calculé. Il est donc possible de dire que c’est un vecteur vitesse ne mettant pas en jeu les concepts de la relativité. Et par conséquent, notre hypothèse que 𝑃 est égal à 𝑚 fois 𝑣 est correcte. Le vecteur vitesse des électrons dans le faisceau est de 3,0 fois 10 puissance six mètre par seconde.
