Vidéo : Introduction aux nombres complexes

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment traiter les nombres imaginaires, sachant que les nombres complexes sont formés d’une partie réelle et d’une autre imaginaire.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir la notion des nombres imaginaires et des nombres complexes. Pour commencer, nous allons simplement définir ce que signifie un nombre imaginaire et un nombre complexe. Et nous envisagerons quand et pourquoi nous pourrions avoir besoin de les utiliser. Nous découvrirons ensuite comment effectuer des calculs simples et manipuler ces types de nombres.

Lorsque nous commençons à découvrir les nombres, nous découvrons l’ensemble des nombres naturels. On les appelle parfois les nombres de comptage. Ce sont les nombres qui peuvent être utilisés pour le dénombrement et le classement. Par exemple, il y a trois pommes dans le bol, ou l’histoire est mon deuxième sujet favori, après les maths bien sûr. Nous étendons ensuite cette idée, et nous apprenons à faire de simples additions et soustractions.

À cette phase, nous pourrions avoir du mal à comprendre une somme telle que trois moins cinq sans comprendre la notion des nombres négatifs. Nous tombons ensuite sur la notion de partage. Et nous sommes obligés d’introduire une nouvelle série de chiffres lorsque nous commençons à envisager la division. Une équation telle que deux 𝑥 égale un n’a pas de solution comme nombre entier ou entier relatif. Nous introduisons donc l’idée des fractions ou des nombres décimaux.

Notre compréhension des nombres comprend maintenant des nombres rationnels, des nombres qui peuvent être écrits sous la forme 𝑎 sur 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des entiers relatifs. Et ensuite nous découvrons qu’il existe encore plus de nombres que les nombres de comptage, les nombres négatifs et les nombres rationnels. Nous apprenons sur les radicaux et 𝜋. Ce sont des nombres irrationnels, des nombres qui ne peuvent pas être écrits comme un entier sur un autre. Combinez tous ces nombres et nous avons l’ensemble des nombres réels. C’est tout ce dont nous avons besoin, non ?

Non, pas tout à fait. Au cours de notre exploration de la notion de nombres, nous aurons rencontré des équations sans solution, ou du moins celles que nous supposons sans solution. Prenez par exemple 𝑥 carré plus un égal à zéro. Nous savons que, pour toute valeur réelle de 𝑥, 𝑥 au carré sera toujours supérieur ou égal à zéro. Cela signifie donc que 𝑥 au carré plus un doit toujours être supérieur ou égal à un.

Donc, pour nous, l’équation 𝑥 au carré plus un égal à zéro n’a pas vraiment de sens, pour le moment. Et nous pourrions même examiner le graphique de l’équation 𝑦 égale 𝑥 carré plus un. C’est une parabole qui coupe l’axe des 𝑦 en un. Nous voyons qu’il n’existe tout simplement aucune solution réelle à l’équation 𝑥 au carré plus un égal à zéro. Cette représentation graphique ne coupe pas l’axe des 𝑥. En fait, nous avons déjà approfondi notre compréhension des nombres, à commencer par les nombres de comptage jusqu’aux nombres irrationnels. Alors, qu’est-ce qui nous empêche de l’approfondir un peu plus ?

Imaginons que l’équation 𝑥 au carré plus un égale zéro ait une solution. Nous pourrions la résoudre comme n’importe quelle autre équation. Nous pourrions soustraire un des deux membres pour obtenir 𝑥 au carré égale moins un. Et ici, c’est ici que nous approfondissons notre compréhension des nombres.

Nous introduisons un nouveau nombre, 𝑖, tel que 𝑖 au carré est égal à moins un. Et nous pouvons maintenant voir que 𝑖 doit être une solution de l’équation 𝑥 au carré égale moins un. Et en fait, si nous cherchons la racine carrée, nous voyons que 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un. Nous appelons cela le nombre imaginaire.

Ce terme a été initialement utilisé car, à l’époque, personne ne croyait qu’une utilisation réelle serait trouvée pour ce nombre. Il était considéré comme un nombre imaginaire, inventé uniquement dans le but de résoudre certaines équations. Mais si nous pensons aux différents ensembles de nombres, ils sont tous inventés. Alors pourquoi ne pas en inventer un nouveau ? Et cela a bien subsisté.

Nous définissons donc 𝑖 comme étant la solution à l’équation 𝑥 au carré égale moins un. Et on parle souvent de la racine carrée de moins un. Puisque 𝑖 n’est pas un nombre réel, tous les multiples réels de 𝑖, c’est-à-dire des nombres de la forme 𝑏𝑖, où 𝑏 est un nombre réel, sont appelés des nombres purement imaginaires. Et tout comme l’ensemble de tous les nombres réels est noté ℝ, l’ensemble de tous les nombres imaginaires est noté 𝕀. Voici donc notre première définition.

Et nous introduisons ici une deuxième définition. Cette définition concerne les nombres complexes. Et ceux-ci sont le résultat de l’addition de nombres réels et imaginaires. Ils sont de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont eux-mêmes des nombres réels. Et un ensemble de tous les nombres complexes est désigné par cette lettre ℂ. Et pour un nombre complexe 𝑧 est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖, on dit que la partie réelle de 𝑧 est 𝑎 et la partie imaginaire est 𝑏. Et faites bien attention. La partie imaginaire est 𝑏, pas 𝑏𝑖.

Maintenant que nous avons toutes les définitions pertinentes dont nous avons besoin, voyons comment former et manipuler ces types de nombres.

Quelle est la valeur de cinq 𝑖 au carré ?

Pour répondre à cette question, rappelons-nous de nos règles de simplification des expressions littérales. Par exemple, pour simplifier une expression de la forme 𝑎 multiplié par 𝑏 à la puissance 𝑛, nous allons calculer 𝑎 à la puissance 𝑛 et le multiplier par 𝑏 à la puissance 𝑛. Dans ce cas, cinq 𝑖 au carré équivaut à cinq au carré multiplié par 𝑖 au carré. Et bien sûr, cinq au carré égale 25. Et 𝑖 est défini comme la solution de l’équation 𝑥 au carré est égal à moins un. 𝑖 au carré est égal à moins un. Donc, nous pouvons écrire cinq 𝑖 au carré comme 25 fois moins un. Et puisqu’un nombre positif multiplié par un nombre négatif donne un nombre négatif, nous voyons que cinq 𝑖 au carré est égal à 25.

Évaluez trois 𝑖 multiplié par sept 𝑖.

Pour répondre à cette question, rappelons-nous que la multiplication est commutative. Elle peut être effectuée dans n’importe quel ordre. Nous pouvons réécrire ce produit en tant que trois multiplié par sept, multiplié par 𝑖 multiplié par 𝑖. Trois multiplié par sept est 21, et 𝑖 multiplié par 𝑖 est 𝑖 au carré. Mains nous n’avons pas tout à fait terminé.

𝑖 n’est pas une variable comme 𝑥 ou 𝑦. Nous savons que 𝑖 est la solution à l’équation 𝑥 au carré est égal à moins un. Nous pouvons dire que 𝑖 au carré est égal à moins un ou 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un. Nous allons remplacer 𝑖 au carré dans notre problème par moins un. Et nous pouvons voir que trois 𝑖 multiplié par sept 𝑖 devient 21 multiplié par moins un. 21 multiplié par moins est moins 21. Et nous avons évalué trois 𝑖 multiplié par sept 𝑖. C’est moins 21.

Exprime la racine carrée de moins quatre en fonction de 𝑖.

Pour répondre à cette question, il faudra réécrire le moins quatre avec un petit changement. Nous l’écrivons comme quatre multiplié par moins un. Et pourquoi avons-nous fait cela ? Eh bien, cela signifie que nous pouvons réécrire la racine carrée du moins quatre en tant que racine carrée de quatre multipliée par moins un.

Les lois des radicaux nous disent que, pour les nombres réels positifs 𝑎 et 𝑏, la racine carrée de 𝑎𝑏 est la même que la racine carrée de 𝑎 multipliée par la racine carrée de 𝑏. Alors que cela n’est pas vrai pour tous les nombres complexes en général, on peut dire que la racine carrée de moins 𝑎 peut s’écrire comme la racine carrée de 𝑎 multipliée par moins un. Et à son tour, cela peut être écrit comme la racine carrée de 𝑎 multipliée par la racine carrée de moins un.

Cela signifie que nous pouvons écrire la racine carrée de moins quatre comme la racine carrée de quatre multipliée par la racine carrée de moins un. Nous savons que la racine carrée de quatre est deux, et nous savons aussi que la racine carrée de moins un est 𝑖. On peut donc dire que la racine carrée de moins quatre est deux multiplié par 𝑖. Et en fait, nous allons simplifier cela. Et nous voyons que la racine carrée de moins quatre est deux 𝑖.

Exprime la racine carrée de moins 54 en fonction de 𝑖.

Pour répondre à cette question, nous allons réécrire le moins 54 avec un petit changement. Nous le réécrivons comme 54 multiplié par moins un. Et cela signifie que nous pouvons dire que la racine carrée du moins 54 est la même que la racine carrée de 54 multipliée par moins un. Et voyons pourquoi nous faisons cela sous une forme plus générale.

Maintenant, nous pouvons dire que la racine carrée de moins 𝑎 peut être écrite comme la racine carrée de 𝑎 multipliée par moins un, ce qui peut être écrit comme la racine carrée de 𝑎 multipliée par la racine carrée du moins un. Et si nous rappelons que nous disons que 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un, la racine carrée de moins 𝑎 doit être égale à la racine carrée de 𝑎 multipliée par 𝑖.

Pour notre nombre, nous pouvons l’écrire comme la racine carrée de 54 multipliée par la racine carrée de moins un, qui est la racine carrée de 54 multipliée par 𝑖. Mais nous n’avons pas tout à fait terminé. Nous devons simplifier la racine de 54 autant que possible. Nous pouvons le faire de différentes manières. Nous pourrions considérer le 54 comme le produit de ses facteurs premiers. Ou bien, nous pourrions trouver le plus grand diviseur de 54, qui est aussi un nombre carré.

Dans ce cas, le diviseur qui nous intéresse est neuf. Nous disons donc que la racine carrée de 54 est égale à la racine carrée de neuf multipliée par six, ou la racine carrée de neuf multipliée par la racine carrée de six. Mais nous savons bien sûr que la racine carrée de neuf est trois. On peut donc dire que la racine carrée de 54 équivaut à trois racines de six. Et nous pouvons voir que la racine carrée du moins 54 est trois racines de six 𝑖.

Maintenant il est important de faire attention ici. Essayez d’inclure les parenthèses comme indiqué. Si nous devions écrire trois racines de six 𝑖 sans parenthèses, nous pourrions facilement les confondre pour trois multipliées par la racine carrée de six 𝑖, ce qui est une solution totalement différente.

Ajoutez quatre à moins 𝑖.

Nous avons un nombre réel et un nombre imaginaire. Et nous cherchons à trouver leur somme. Ce que cette question nous demande réellement de faire est de former un nombre complexe. Rappelez-vous qu’un nombre complexe, 𝑧, est de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont tous deux des nombres réels, et 𝑎 est la composante réelle de 𝑧 et 𝑏 la composante imaginaire.

Maintenant, si nous ajoutons quatre à moins 𝑖, nous obtenons quatre plus moins 𝑖. Mais nous pouvons réellement écrire ceci comme simplement quatre moins 𝑖. Et nous pouvons maintenant voir que nous avons un nombre complexe avec une composante réelle de quatre et une composante imaginaire de moins un.

Est-ce que l’affirmation suivante est vraie ou fausse ? Tout nombre réel est aussi un nombre complexe.

Nous savons qu’un nombre complexe 𝑧 est de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. En fait, on pourrait dire qu’un nombre réel 𝑎 est de la forme 𝑎 plus zéro 𝑖. Zéro est en effet un nombre réel. Et par sa définition même, 𝑎 plus zéro 𝑖 est un nombre complexe.

Nous avons donc montré que tout nombre réel est aussi un nombre complexe. On peut dire que l’affirmation « tout nombre réel est aussi un nombre complexe » est vraie. Il est important de noter cependant que l’affirmation contraire n’est pas vraie. Nous ne pouvons pas dire que tout nombre complexe est aussi un nombre réel, puisqu’un nombre complexe a une partie réelle et une partie imaginaire. La seule possibilité qu’un nombre complexe puisse être aussi un nombre réel est si la partie imaginaire égale zéro.

Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe deux moins deux 𝑖 ?

Un nombre complexe est le résultat de l’addition d’un nombre réel et d’un nombre imaginaire. Et un nombre complexe 𝑧 est sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. On peut dire que la partie réelle de ce nombre complexe général est 𝑎. Et la partie imaginaire est essentiellement le coefficient de 𝑖. C’est 𝑏. Rappelez-vous que ce n’est pas 𝑏𝑖, mais simplement 𝑏.

Comparons cette forme générale à notre nombre complexe deux moins deux 𝑖. Nous pouvons voir que 𝑎 est égal à deux et 𝑏 est égal à moins deux. Et cela signifie que la partie réelle de ce nombre complexe est deux et que la partie imaginaire est moins deux.

Récapitulons donc ce que nous avons appris aujourd’hui. Nous avons approfondi notre compréhension de l’ensemble des nombres pour inclure désormais des nombres imaginaires. Nous avons un nouveau nombre 𝑖, qui est défini comme la solution de l’équation 𝑥 au carré égale moins un. Et bien sûr, nous disons souvent que 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un.

Nous avons appris qu’un nombre sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels, est appelé un nombre complexe. On les trouve en additionnant un nombre réel et un nombre imaginaire. Et enfin, nous avons vu que la partie réelle de notre nombre complexe est 𝑎 et la partie imaginaire est 𝑏, et non pas 𝑏𝑖.

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