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Vidéo de question : Vérifier si deux triangles donnés sont semblables connaissant leurs dimensions Mathématiques

Sachant que △ 𝐹𝐺𝐻 ∼ △ 𝑋𝑌𝑍, si on ajoute 6 unités à la longueur de chaque côté, les triangles obtenus sont-ils semblables ?

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Transcription de vidéo

Étant donné que le triangle 𝐹𝐺𝐻 est semblable au triangle 𝑋𝑌𝑍, si l’on ajoute 6 unités à la longueur de chaque côté, les triangles obtenus sont-ils semblables ?

Dans cette question, on nous dit que deux triangles sont semblables. Nous pouvons rappeler que des triangles semblables, comme tous les polygones semblables, auront des paires d’angles égaux et des paires de côtés correspondants proportionnels. Si nous regardons la longueur d’un des côtés, 𝐻𝐺, elle correspondra à la longueur 𝑍𝑌 dans le plus grand triangle. Nous pouvons voir que les longueurs sont ici 𝑎 sur le plus petit triangle et trois 𝑎 sur le plus grand triangle. Le côté 𝐹𝐻 correspond au côté 𝑋𝑍 et les longueurs sont respectivement 𝑏 et trois 𝑏. La dernière paire de côtés correspondants est 𝐹𝐺 et 𝑋𝑌 et ces côtés sont 𝑐 et trois 𝑐.

Si nous voulons trouver le rapport d’agrandissement du petit triangle 𝐹𝐺𝐻 vers le grand triangle 𝑋𝑌𝑍, nous pouvons voir que toutes les longueurs du petit triangle doivent être multipliées par trois. Nous devons maintenant déterminer si, lorsqu’on ajoute six unités à la longueur de chaque côté des deux triangles, les deux triangles obtenus seront semblables ? Bien, disons qu’au lieu d’avoir 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sur le petit triangle, nous avons 𝑎 plus six, 𝑏 plus six et 𝑐 plus six. Sur le plus grand triangle, nous aurions trois 𝑎 plus six, trois 𝑏 plus six et trois 𝑐 plus six.

À ce stade, nous pourrions penser que nous avons des triangles semblables. Après tout, toutes les proportions resteraient les mêmes, sauf qu’elles contiendraient six unités supplémentaires. Mais prenons l’une de ces longueurs, disons la longueur 𝑎 plus six et multiplions-la par trois. Lorsque nous multiplions 𝑎 plus six par trois, nous devons nous rappeler que c’est la somme de 𝑎 plus six qui est multipliée par trois. On distribue la valeur trois dans les parenthèses, on obtient trois 𝑎 plus trois fois six, soit 18. Sur le plus grand triangle, nous avons la longueur trois 𝑎 plus six et non pas trois 𝑎 plus 18.

Le même raisonnement s’applique aux deux autres côtés. Par exemple, 𝑋𝑍 devrait être trois 𝑏 plus 18 et 𝑋𝑌 devrait être trois 𝑐 plus 18. Si nous revenons à la définition de figures semblables, nous n’avons pas les côtés correspondants proportionnels, donc ces deux triangles ne sont pas semblables. Nous pouvons donc conclure que la réponse à cette question est non.

Si vous n’aimez pas trop manipuler l’algèbre, il existe une autre approche pour répondre à cette question. Prenons des valeurs numériques pour 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Comme il s’agit d’un triangle rectangle, nous pourrions utiliser le triplet pythagoricien trois, quatre, cinq. La longueur de 𝑌𝑍 serait trois fois trois, soit neuf. 𝑋𝑌 serait trois fois quatre, soit 12. 𝑋𝑍 serait trois fois cinq, soit 15. Si nous ajoutions ensuite six à toutes les longueurs du petit triangle, nous aurions les longueurs neuf, 10 et 11, ce qui signifie en fait que nous n’avons plus le triplet pythagoricien, mais voyons cependant ce qui se passe.

Sur le grand triangle, lorsque nous ajoutons six unités, nous avons les longueurs 15, 18 et 21. Pour vérifier si nous avons des côtés correspondants proportionnels, nous devons vérifier si 15 sur neuf est égal à 18 sur 10 est égal à 21 sur 11. Non, ces proportions sont différentes. Donc, nous avons confirmé que la réponse est non ; ces deux triangles obtenus ne sont pas semblables.

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