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Déterminez, si elles existent, les valeurs des maximum et minimum absolus de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de trois 𝑥 plus 10, pour 𝑥 appartenant à l’intervalle fermé de moins deux à cinq.
La question nous donne une fonction composée, et nous demande de trouver les valeurs du maximum et du minimum absolu si elles existent, pour 𝑥 appartenant à l’intervalle fermé de moins deux à cinq. Premièrement, nous voulons vérifier où notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue. Nous savons que cette fonction est une fonction composée. Nous savons que si nous avons deux fonctions continues 𝑔 et ℎ, alors leur composition 𝑔 de ℎ de 𝑥 est continue sur son ensemble de définition. Nous voyons que notre fonction est composée de deux fonctions : 𝑔 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 ; ℎ de 𝑥 égale trois 𝑥 plus 10. La fonction racine carrée est continue, et toutes les fonctions polynomiales sont continues. Puisque 𝑓 de 𝑥 est une composition de deux fonctions continues, elle est continue sur son ensemble de définition. Ceci signifie simplement que la fonction 𝑓 de 𝑥 est continue partout où elle est définie.
Nous savons que la racine carrée d’un nombre sera toujours définie sauf si ce nombre est négatif. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 n’est pas définie lorsque trois 𝑥 plus 10 est strictement inférieur à zéro, ce qui signifie également qu’elle ne sera pas continue pour ces valeurs de 𝑥. Nous soustrayons 10 des deux côtés de cette inégalité puis divisons par trois pour voir que notre fonction 𝑓 de 𝑥 n’est pas définie lorsque 𝑥 est strictement inférieur à moins 10 sur trois. Moins 10 sur trois égale moins trois et un tiers. Moins trois et un tiers est en dehors de notre ensemble de définition. Il s’ensuit que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue pour toutes les valeurs de 𝑥 dans l’intervalle fermé de moins deux à cinq.
Au passage, il convient de noter ici que puisque nous avons montré que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue sur un intervalle fermé, en appliquant le théorème des valeurs extrêmes, nous savons que notre fonction 𝑓 de 𝑥 atteindra un maximum et un minimum sur l’intervalle fermé de moins deux à cinq. Donc à ce stade, nous savons que ces deux valeurs existent nécessairement. Puisque notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue sur un intervalle fermé, nous pouvons trouver les valeurs du maximum absolu et du minimum absolu en utilisant les trois étapes suivantes. Premièrement, nous devons trouver les points critiques de notre fonction 𝑓 de 𝑥. C’est-à-dire là où la dérivée est égale à zéro ou qu’elle n’existe pas.
Ensuite, nous devons déterminer la valeur de la fonction 𝑓 de 𝑥 aux points critiques. Enfin nous devons déterminer la valeur de la fonction 𝑓 de 𝑥 aux bornes de l’intervalle. La plus grande de ces valeurs sera alors le maximum absolu de notre fonction 𝑓 de 𝑥 sur l’intervalle, et la plus petite sera le minimum de notre fonction 𝑓 de 𝑥 sur l’intervalle. La première chose que nous devons faire est de trouver les points critiques de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Nous devons calculer la dérivée de racine carrée de trois 𝑥 plus 10. Nous savons que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction composée. Pour calculer sa dérivée, nous devons utiliser la règle de dérivation en chaîne. Nous posons 𝑢 égal à la fonction intérieure trois 𝑥 plus 10. Nous avons 𝑓 de 𝑢 égale racine carrée de 𝑢, et 𝑢 de 𝑥 égale trois 𝑥 plus 10. 𝑓 est une fonction de 𝑢, et 𝑢 à son tour est une fonction de 𝑥.
La règle de dérivation en chaîne nous dit que si 𝑓 est une fonction de 𝑢 et que 𝑢 à son tour est une fonction de 𝑥, alors la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑢 multipliée par la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. En appliquant la règle de dérivation en chaîne, nous avons la dérivée de notre fonction 𝑓 par rapport à 𝑥 égale la dérivée de la racine carrée de 𝑢 par rapport à 𝑢 multipliée par la dérivée de trois 𝑥 plus 10 par rapport à 𝑥. Nous pouvons calculer la dérivée de la racine carrée de 𝑢 par rapport à 𝑢 en utilisant la règle de puissance pour la dérivation. Nous multiplions par l’exposant, puis réduisons l’exposant de un. Puisque racine carrée de 𝑢 est la même chose que 𝑢 puissance un demi, cela nous donne un divisé par deux racine de 𝑢.
Nous pouvons également calculer la dérivée de trois 𝑥 plus 10 en utilisant la règle de puissance pour la dérivation. Cela nous donne trois. Ainsi, la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥 est égale à trois divisé par deux racine de 𝑢. Nous voulons ceci en fonction de 𝑥. Nous remplaçons donc 𝑢 égale trois 𝑥 plus 10 pour montrer que la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥 est égale à trois divisé par deux fois la racine carrée de trois 𝑥 plus 10. Rappelez-vous, nous recherchons des points dans notre intervalle où la dérivée est égale à zéro ou n’existe pas. Nous voyons que la racine carrée positive de trois 𝑥 plus 10, si elle existe, donnera toujours un nombre supérieur ou égal à zéro. Ceci est dû au fait que nous prenons la racine carrée positive du nombre. Si notre dénominateur était égal à zéro, alors la dérivée n’existerait pas.
Cependant, puisque la racine carrée de trois 𝑥 plus 10 est positive, la multiplier par deux nous donne un nombre positif. Puis trois divisé par un nombre positif nous donne un nombre positif. Nous savons que 𝑥 est supérieur ou égal à moins deux en raison de l’intervalle qui nous est donné. Ceci signifie que trois 𝑥 plus 10 n’est jamais égal à zéro sur cet intervalle. Notre dérivée est le quotient de deux nombres positifs et est donc positive. Sur notre intervalle, la dérivée n’est jamais égale à zéro. En fait, puisque notre dérivée est le quotient de deux nombres positifs, elle existera toujours sur cet intervalle. Ceci nous montre que notre fonction n’a pas de points critiques sur cet intervalle. Et cela signifie que nous pouvons ignorer la deuxième étape, car il n’y a pas de points critiques auxquels déterminer la valeur de la fonction.
Nous déterminons donc finalement la valeur de 𝑓 de 𝑥 aux bornes de l’intervalle. 𝑓 évaluée en moins deux est égal à la racine carrée de trois fois moins deux plus 10, soit la racine carrée de quatre, ce qui est égal à deux. Et 𝑓 évaluée en cinq est égal à la racine carrée de trois fois cinq plus 10, soit la racine carrée de 25 ce qui est égal à cinq. Puisque notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue sur cet intervalle fermé, elle a nécessairement son minimum en deux et son maximum en cinq sur cet intervalle.
En conclusion, nous avons montré que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de trois 𝑥 plus 10, pour 𝑥 appartenant à l’intervalle fermé de moins deux à cinq, atteindra un minimum absolu de deux et un maximum absolu de cinq.
