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Vidéo de question : Déterminer les coordonnées d’un point d’un segment étant donné les coordonnées du milieu et ceux d’un deuxième point Mathématiques

Sachant que le point (0, 17, −10) est le milieu du segment 𝐴𝐵 et qu’on a 𝐴 (−19, 7, 14), quelles sont les coordonnées de 𝐵?

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Transcription de vidéo

Sachant que le point de coordonnées zéro, 17, moins 10 est le milieu du segment 𝐴𝐵 et que 𝐴 est le point de coordonnées moins 19, sept, 14, quelles sont les coordonnées de 𝐵 ?

Dans cette question, on nous donne les coordonnées du milieu d’un segment. Et on nous donne également aussi l’une des extrémités de ce segment. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer les coordonnées de l’autre extrémité de ce segment. Pour ce faire, nous devons rappeler la formule pour trouver le milieu d’un segment. Rappelez-vous que, le milieu d’un segment est le point équidistant des extrémités de ce segment. Et c’est la même chose que le milieu entre les deux extrémités de notre segment. Et nous savons comment trouver cela. Le milieu des points 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux est donné par 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux et 𝑧 un plus 𝑧 deux sur deux.

Tout ce que nous faisons c’est de prendre la moyenne de chacune des coordonnées. Dans cette question, on nous donne l’une des extrémités et le milieu. Nous devons utiliser ceci pour trouver l’autre extrémité. Pour ce faire, complétons d’abord par les valeurs que nous connaissons. Premièrement, nous savons que les coordonnées du point 𝐴 sont moins 19, sept, 14. Nous pouvons donc définir 𝑥 un égal à moins 19, 𝑦 un égal à sept et 𝑧 un égal à 14. De même, la question nous indique les coordonnées de notre milieu. Il a pour coordonnées zéro, 17, moins 10. Nous savons donc que 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux est égal à zéro, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux est égal à 17, et 𝑧 un plus 𝑧 deux sur deux est égal à moins 10.

Mais nous connaissons également dans ce cas les valeurs de 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑧 un. Nous pouvons donc simplement remplacer par ces valeurs dans notre formule. Ceci nous donnera alors une équation pour 𝑥 deux, 𝑦 deux, et 𝑧 deux c’est à dire les coordonnées de notre point 𝐵. Commençons par l’abscisse 𝑥. Premièrement, en utilisant notre formule, nous savons que 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux doit être égal à la l’abscisse 𝑥 de notre milieu qui est zéro. Mais rappelez-vous que, 𝑥 un est l’abscisse de notre point 𝐴. Elle va être égale à moins 19. Nous pouvons donc remplacer par cette valeur, et nous obtenons que moins 19 plus 𝑥 deux sur deux est égal à zéro.

Et nous pouvons résoudre cette équation pour trouver notre valeur de 𝑥 indice deux. Nous devons multiplier cette équation par deux puis ajouter 19 aux deux membres. Nous obtenons que 𝑥 indice deux est égal à 19. Et ceci va être l’abscisse du point 𝐵. Faisons maintenant exactement la même chose pour trouver l’ordonnée 𝑦 du point 𝐵. D’abord, nous allons poser que 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux est égal à l’ordonnée 𝑦 de notre milieu qui est 17. Ceci nous donne l’équation suivante. Ensuite, rappelez-vous que 𝑦 un est l’ordonnée 𝑦 du point 𝐴, et nous savons qu’elle est égale à sept. Nous remplaçons donc par ceci ce qui nous donne que sept plus 𝑦 deux sur deux est égal à 17.

Ensuite nous avons juste besoin de résoudre cette équation pour déterminer 𝑦 indice deux. Nous multiplions les deux membres de notre équation par deux puis soustrayons sept des deux membres. Ceci nous donne que 𝑦 deux est égal à 17 fois deux moins sept ce qui est égal à 27. Nous avons donc maintenant également trouvé l’ordonnée 𝑦 du point 𝐵. Nous allons maintenant faire exactement la même chose pour trouver la coordonnée 𝑧 du point 𝐵. Cette fois, nous obtenons que 𝑧 un plus 𝑧 deux sur deux devrait être égal à la coordonnée 𝑧 de notre milieu. C’est moins 10. Ceci nous donne l’équation suivante. Et nous savons également à partir de notre formule que 𝑧 un sera la coordonnée 𝑧 de notre point 𝐴, que nous savons est 14.

Nous avons donc remplacé par cela. Nous obtenons que 14 plus 𝑧 deux sur deux devrait être égal à moins 10. Et puis nous devons résoudre cette équation pour déterminer 𝑧 deux. Nous allons multiplier par deux puis soustraire 14 des deux membres de l’équation. Nous obtenons que 𝑧 deux est égal à moins 10 fois deux moins 14, ce qui est égal à moins 34, et ces trois valeurs sont les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de notre point 𝐵.

Par conséquent, nous avons montré que 𝐵 doit avoir pour coordonnées 19, 27, moins 34. Et il convient de souligner ici que nous pouvons vérifier notre réponse en trouvant simplement le milieu entre le point 𝐴 et le point 𝐵. Tout ce que nous voudrions faire, c’est de calculer la moyenne des coordonnées de ces deux points et vérifier que nous obtenons le point zéro, 17, moins 10.

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