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Vidéo de question : Déterminer l’aire et la circonférence d’un cercle connaissant la puissance d’un point par rapport à ce cercle situé dans celui-ci Mathématiques

Un cercle de centre 𝑀 et un point 𝐴 vérifient 𝑀𝐴 = 28 cm et 𝑃_(𝑀)(𝐴) = 4. En utilisant 𝜋 = 22/7, calculez l’aire et la circonférence du cercle à l’unité près.

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Transcription de vidéo

Un cercle de centre 𝑀 et un point 𝐴 vérifient 𝑀𝐴 est égal à 28 centimètres et 𝑃 𝑀 de 𝐴 est égal à quatre. En utilisant 𝜋 est égal à 22 sur sept, calculez l’aire et la circonférence du cercle à l’unité près.

La notation 𝑃 𝑀 de 𝐴 fait référence au théorème de la puissance d’un point par rapport à un cercle. Considérons d’abord notre cercle et montrons son lien avec ce théorème. Il nous est dit dans la question que nous avons un cercle de centre 𝑀 et un point 𝐴. Il nous est dit aussi que la longueur de 𝑀𝐴 est de 28 centimètres. Si nous étendons la droite 𝐴𝑀, nous obtenons deux points 𝐵 et 𝐶 appartenant au cercle. Pour toute droite de ce type, le théorème de la puissance d’un point par rapport à un cercle énonce que la puissance d’un point est égale à 𝐴𝐵 multipliée par 𝐴𝐶.

Les longueurs 𝑀𝐵 et 𝑀𝐶 sont toutes deux égales au rayon du cercle. Nous noterons cela 𝑟. La longueur 𝐴𝐵 est, donc, égale à 𝐴𝑀 moins 𝑀𝐵. 𝐴𝑀 est égal à 28 centimètres et 𝑀𝐵 est égal à 𝑟. Par conséquent, 𝐴𝐵 est égal à 28 moins 𝑟. Nous pouvons utiliser les mêmes méthodes pour calculer la longueur de 𝐴𝐶. Elle est égale à 𝐴𝑀 plus 𝑀𝐶. 𝐴𝑀 est à nouveau égal à 28 et la longueur 𝑀𝐶 est 𝑟. Par conséquent, 𝐴𝐶 est égal à 28 plus 𝑟. En remplaçant par leurs valeurs dans notre formule nous obtenons 28 moins 𝑟 multiplié par 28 plus 𝑟. Nous savons que la puissance de notre point est égale à quatre. Par conséquent, cette expression est égale à quatre.

À ce stade, nous pourrions remarquer que le membre de droite est la différence de deux carrés. Si nous ne remarquons pas cela, nous pouvons simplement le développer en utilisant la méthode FOIL. La multiplication des premiers termes 28 et 28 nous donne 784. La multiplication des termes extérieurs nous donne 28𝑟. La multiplication des termes intérieurs nous donne moins 28𝑟. Enfin, la multiplication des derniers termes nous donne moins 𝑟 au carré.

Les deux termes du milieu s’annulent car 28𝑟 moins 28𝑟 est égal à zéro. Notre équation devient quatre est égal à 784 moins 𝑟 au carré. La soustraction de quatre des deux membres de cette équation nous donne que zéro est égal à 780 moins 𝑟 au carré. Nous pouvons ensuite ajouter 𝑟 au carré aux deux membres de cette équation pour nous donner que 𝑟 au carré est égal à 780. Appliquer la racine carrée aux deux membres nous donne que 𝑟 est égal à la racine carrée de 780. Dans ce cas général, ceci peut être positif ou négatif. Cependant, comme nous parlons d’une longueur, celle-ci doit être positive : la racine carrée de 780.

La question nous a demandé de calculer l’aire et la circonférence du cercle. L’aire de n’importe quel cercle peut être calculée en multipliant 𝜋 par le rayon au carré. La circonférence peut être calculée en multipliant 𝜋 par le diamètre. Ceci revient à multiplier deux 𝜋 par le rayon car le diamètre est le double du rayon. Si nous faisons un peu d’espace, nous pouvons maintenant calculer ces deux valeurs.

Comme le rayon au carré est égal à 780, l’aire est égale à 𝜋 multipliée par 780. Dans cette question, on nous dit d’utiliser 22 sur sept comme valeur de 𝜋. En multipliant ceci par 780, on obtient 2451,428 etc. Nous devons arrondir cette valeur à l’entier le plus proche. Nous regardons le premier chiffre après la virgule. Comme il s’agit de quatre, nous arrondirons à l’entier inférieur. L’aire du cercle arrondie à l’entier le plus proche est de 2451 centimètres carrés.

La circonférence peut être calculée en multipliant deux par 22 sur sept fois la racine de 780. Saisir ceci dans la calculatrice nous donne 175,550 etc. Cette fois, comme le nombre après la virgule est cinq, nous allons arrondir à l’entier supérieur. La circonférence du cercle arrondie à l’entier le plus proche est de 176 centimètres.

Ceci signifie que nos deux réponses sont 2451 centimètres carrés et 176 centimètres.

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