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Vidéo de question : Déterminer le nombre de façons d’arranger un ensemble de chiffres pour former un nombre de 𝑥 chiffres selon un critère donné Mathématiques

Combien de nombres à trois chiffres peut-on former en utilisant les chiffres de l’ensemble {5, 8, 9, 2}, si le chiffre des dizaines est pair et qu’aucun chiffre ne se répète ?

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Transcription de vidéo

Combien de nombres à trois chiffres peut-on former en utilisant les chiffres de l’ensemble cinq, huit, neuf et deux, si le chiffre des dizaines est pair et qu’aucun chiffre ne se répète ?

On ne va pas tenter d’énumérer tous les nombres à trois chiffres possibles. À la place, on va rappeler le principe fondamental du dénombrement, qui implique un produit. Il énonce que, pour trouver le nombre total d’issues de deux ou plusieurs événements, on multiplie le nombre d’issues de chaque événement ensemble. Alors, quels sont les événements ici ? Eh bien, on cherche un nombre à trois chiffres, donc chaque événement est le chiffre choisi. Il y a quelques restrictions sur ce nombre. Son chiffre des dizaines doit être pair. Ceci implique que le chiffre des dizaines ne peut être que huit ou deux. Nous allons donc d’abord considérer ce chiffre.

On a le choix entre deux chiffres comme chiffre des dizaines. Il y a donc deux façons de choisir ce chiffre. Examinons maintenant n’importe quel autre chiffre du nombre, par exemple le chiffre des centaines. Nous avons choisi un chiffre de l’ensemble proposé, il reste donc trois chiffres parmi lesquels on doit choisir. On sait qu’il ne reste plus que trois chiffres que nous pouvons choisir, parce que les chiffres ne doivent pas se répéter. Nous disons donc que le nombre de façons de choisir le chiffre de centaines dans notre nombre à trois chiffres est trois.

Il reste un chiffre à choisir. C’est le chiffre des unités. On a déjà choisi deux chiffres de l’ensemble, ce qui veut dire qu’il ne reste plus qu’un choix entre deux chiffres, car il ne faut répéter aucun chiffre. On a donc trouvé le nombre d’issues de chaque événement. C’est le nombre de façons de choisir le chiffre des dizaines, le nombre de façons de choisir le chiffre des centaines, et le nombre de façons de choisir le chiffre des unités.

Le principe fondamental du dénombrement indique qu’il faut multiplier ces trois valeurs pour trouver le nombre total de nombres à trois chiffres. C’est deux fois trois fois deux, ce qui est égal à 12. On voit donc qu’il existe 12 nombres de trois chiffres dont le chiffre des dizaines est pair sans chiffres répétés et qui n’utilise que les chiffres de notre ensemble.

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