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Déterminez l’équation de la tangente à la courbe d’équation 𝑦 égal à sept cosinus de 𝑥 moins trois sécante de 𝑥 en 𝑥 est égal à 𝜋 sur six.
On nous donne une courbe 𝑦 est égal à une certaine fonction de 𝑥. Et nous devons trouver l’équation de la tangente à cette courbe au point où 𝑥 est égal à 𝜋 sur six. Commençons par rappeler comment trouver l’équation d’une tangente à la courbe 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. Tout d’abord, nous rappelons que l’équation d’une droite passant par le point 𝑦 un, 𝑥 un et de pente 𝑚 est donnée par 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un. Ensuite, nous devons nous rappeler qu’une tangente à une courbe en un point doit avoir la même pente que la courbe en ce point. En d’autres termes, si nous posons notre courbe 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥, alors la pente 𝑚 de notre tangente doit être la même que la pente de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à 𝜋 sur six.
Donc pour trouver la pente de notre tangente, nous allons devoir calculer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. C’est la dérivée par rapport à 𝑥 de sept cosinus de 𝑥 moins trois sécante de 𝑥. Et nous pouvons évaluer cette dérivée terme à terme. Tout d’abord, nous rappelons que la dérivée par rapport à 𝑥 du cosinus de 𝑥 est égale à moins le sinus de 𝑥. Donc si nous multiplions ceci par sept, nous obtenons que la dérivée de sept cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins sept sinus de 𝑥.
Nous pouvons faire quelque chose de similaire pour trouver la dérivée de notre second terme. Nous devons rappeler le résultat suivant sur les dérivés des fonctions trigonométrique inverses. La dérivée de la sécante de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à la sécante de 𝑥 fois la tangente de 𝑥. Don en multipliant ceci par moins trois, nous obtenons que la dérivée de moins trois sécante de 𝑥 est égale à moins trois sécante de 𝑥 fois la tangente de 𝑥. Et nous sommes maintenant prêts pour trouver la pente de notre tangente lorsque 𝑥 est égal à 𝜋 sur six. Nous avons juste besoin de remplacer 𝑥 par 𝜋 sur six dans notre expression pour d𝑦 sur d𝑥. En remplaçant 𝑥 par 𝜋 sur six dans notre expression de d𝑦 sur d𝑥, nous obtenons que la pente 𝑚 de notre tangente est égale à moins sept fois le sinus de 𝜋 sur six moins trois fois la sécante de 𝜋 sur six multiplié par la tangente de 𝜋 sur six.
Et pour évaluer cette expression, il pourrait être utile de rappeler l’identité trigonométrique suivante. La sécante de 𝜃 est équivalente pour toute valeur de 𝜃 à un divisé par le cosinus de 𝜃. Donc multiplier par la sécante de 𝜋 sur six équivaut à diviser par le cosinus de 𝜋 sur six. Nous pouvons maintenant trouver la valeur de cette expression. Premièrement, le sinus de 𝜋 sur six est égal à un demi. Donc notre premier terme est moins sept sur deux. Ensuite, pour notre second terme, multiplier par la sécante de 𝜋 sur six équivaut à diviser par le cosinus de 𝜋 sur six. Et le cosinus de 𝜋 sur six est égal à racine de trois sur deux. De plus, la tangente de 𝜋 sur six égale racine de trois sur trois. Ceci nous donne que 𝑚 est égal à moins sept sur deux moins trois fois un sur racine de trois sur deux multiplié par racine de trois sur trois. Et nous pouvons simplifier cette expression.
Premièrement, nous avons trois divisé par trois dans notre second terme. Nous pouvons simplifier ceci ce qui nous donne un. Ensuite, au lieu de diviser par racine de trois sur deux, nous pouvons plutôt multiplier par l’inverse soit par deux divisé par racine de trois. Ceci nous donne alors que 𝑚 est égal à moins sept sur deux moins deux sur racine de trois multiplié par racine de trois. Et bien sûr, nous pouvons simplifier ceci. Racine de trois divisée par racine de trois est égal à un. Nous obtenons donc que 𝑚 est égal à moins sept sur deux moins deux, ce qui équivaut à moins 11 divisé par deux. Maintenant que nous avons trouvé la valeur de 𝑚, il nous suffit de trouver les coordonnées d’un point par lequel passe notre tangente.
Pour ce faire, il suffit de se rappeler qu’une droite tangente à une courbe en un point doit passer par ce point. Donc dans notre cas, notre tangente doit passer par le point de la courbe où 𝑥 est égal à 𝜋 sur six. Et nous connaissons directement les coordonnées de ce point à savoir que l’abscisse 𝑥 sera 𝜋 sur six et que l’ordonnée 𝑦 sur notre courbe lorsque 𝑥 est 𝜋 sur six est donnée par 𝑓 de 𝜋 sur six. Donc tout ce qui reste à faire est de remplacer 𝑥 par 𝜋 sur six dans l’équation de notre courbe. En remplaçant 𝑥 par 𝜋 sur six dans l’équation de notre courbe, nous voyons que 𝑦 un sera égal à sept cosinus de 𝜋 sur six moins trois sécante de 𝜋 sur six. Et nous avons juste à évaluer cette expression.
Premièrement, le cosinus de 𝜋 sur six est égal à racine de trois sur deux. Ensuite, rappelez-vous que sécante de 𝜋 sur six est égal à un divisé par le cosinus de 𝜋 sur six. Et nous avons déjà expliqué qu’au lieu de diviser par le cosinus de 𝜋 sur six, qui est égal à racine de trois sur deux, nous pouvons multiplier par l’inverse à savoir deux sur racine de trois. Nous avons donc montré que 𝑦 un est égal à sept fois racine de trois sur deux moins trois fois deux sur racine de trois. Et nous pouvons simplifier ceci. Premièrement, nous allons rendre rationnel le dénominateur de notre second terme. Pour ce faire, nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur par la racine carrée de trois. Nous pouvons alors multiplier le dénominateur. La racine carrée de trois multipliée par la racine carrée de trois nous donne trois. Mais nous pouvons alors voir que nous avons trois divisé par trois, ce qui est bien sûr égal à un.
Nous avons ainsi simplifié notre expression pour 𝑦 un. C’est égal à sept fois racine de trois sur deux moins deux racine de trois. Ensuite, en factorisant par la racine de trois et en simplifiant, nous pouvons voir que 𝑦 un est égal à trois racine de trois divisé par deux. Maintenant tout ce qui reste à faire est de remplacer dans notre équation pour une droite par nos valeurs de 𝑦 un, 𝑥 un et 𝑚. Pour ce faire, nous allons tout d’abord faire de l’espace, puis remplacer dans notre équation pour une droite 𝑥 un par 𝜋 sur six, 𝑦 un par trois racine de trois sur deux et 𝑚 par moins 11 sur deux. Ceci nous donne que 𝑦 moins trois racine de trois sur deux est égal à moins 11 sur deux multiplié par 𝑥 moins 𝜋 sur six. Et nous pourrions laisser notre réponse simplement comme ceci. Cependant, nous allons distribuer le moins 11 sur deux entre nos parenthèses.
En faisant ceci, nous pouvons voir que le premier terme de notre développement sera moins 11𝑥 sur deux et le second terme sera 11𝜋 sur 12. Ceci nous donne que 𝑦 moins trois racine de trois sur deux est égal à moins 11𝑥 sur deux plus 11𝜋 sur 12. Et la dernière simplification que nous allons faire est de réorganiser notre équation de manière à ce que tous nos termes soient du même côté de l’équation. Et en faisant ceci et en réarrangeant, nous sommes en mesure d’obtenir notre réponse finale.
Par conséquent, nous avons pu montrer que l’équation de la tangente à la courbe 𝑦 est égal à sept cosinus de 𝑥 moins trois sécante de 𝑥 en 𝑥 est égal à 𝜋 sur six est donnée par 𝑦 plus 11𝑥 sur deux moins 11𝜋 sur 12 moins trois racine de trois sur deux est égal à zéro.
