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Déterminez l’ensemble solution, en l’inconnue 𝑥, de l’équation cos 𝑥 cos deux 𝑥 moins sin 𝑥 sin deux 𝑥 est égal à un demi pour 𝑥 compris entre zéro et 360 degrés.
Une de nos identités trigonométriques relative à la somme d’angles indique que cos de 𝐴 plus 𝐵 est égal à cos 𝐴 cos 𝐵 moins sin 𝐴 sin 𝐵. Dans cette question, notre 𝐴 est égal à 𝑥 et notre 𝐵 est égal à deux 𝑥. L’équation cos 𝑥 cos deux 𝑥 moins sin 𝑥 sin deux 𝑥 est égal à un demi peut donc être réécrite comme cos de 𝑥 plus deux 𝑥 est égal à un demi.
𝑥 plus deux 𝑥 est égal à trois 𝑥. Par conséquent, cos de trois 𝑥 est égal à un demi. En appliquant l’arc cosinus ou réciproque du cosinus aux deux membres de cette équation, on obtient que trois 𝑥 est égal à l’arc cosinus d’un demi. En saisissant le membre de droite dans notre calculatrice nous trouvons 60. Par conséquent, trois 𝑥 est égal à 60 degrés.
Résoudre cette équation en divisant les deux membres par trois nous donnera une solution. Cependant, on nous a demandé de trouver l’ensemble solution ce qui suggère qu’il y a plus d’une réponse. Nous pouvons trouver les autres solutions, soit en dessinant le graphe du cosinus, soit en utilisant le schéma CAST.
Cela nous indique que trois 𝑥 aura deux valeurs, une dans le quadrant A et une dans le quadrant C. La figure sera symétrique par rapport à l’axe des 𝑥. Cela signifie que comme notre première solution pour trois 𝑥 était égale à 60 degrés, notre deuxième solution sera égale à 300, car 360 moins 60 est égal à 300. Nous pouvons donc dire que les deux solutions de l’équation sont telles que trois 𝑥 est égal à 60 ou que trois 𝑥 est égal à 300.
Comme le graphique du cosinus continue indéfiniment, ces solutions se répéteront tous les 360 degrés. Par exemple, l’ajout de 360 à 60 nous donne 420 degrés. Ainsi, trois 𝑥 pourrait également être égal à 420. De même, 300 plus 360 est égal à 660. Ainsi, une quatrième valeur possible est telle que trois 𝑥 est égal à 660 degrés. La poursuite de ce processus nous donne les valeurs supplémentaires que sont 780 degrés et 1020 degrés. Cela signifie que trois 𝑥 pourrait également être égal à 780 ou à 1020. En fait, ce processus se poursuivra indéfiniment Cependant, on nous a demandé les solutions pour 𝑥 comprises entre zéro et 360 degrés.
Comme ce sont toutes des valeurs pour trois 𝑥, nous devons diviser chacune d’elles par trois pour calculer la valeur correspondante pour 𝑥. 60 divisé par trois est égal à 20. Et 300 divisé par trois est égal à 100. La division des quatre autres valeurs par trois nous donne des réponses de 140, 220, 260 et 340 degrés.
Il y a six angles dans l’ensemble solution de l’équation cos 𝑥 cos deux 𝑥 moins sin 𝑥 sin deux 𝑥 est égal à un demi et qui sont compris entre zéro et 360 degrés. Ce sont 𝑥 est égal à 20 degrés, 100 degrés, 140 degrés, 220 degrés, 260 degrés et 340 degrés. Nous pourrions vérifier chacune de ces réponses individuellement en remplaçant par ces angles dans l’équation. Chacun d’entre eux nous donnera un résultat égal à un demi.
