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Vidéo de question : Comprendre les notions de vitesse et de rayon dans l’équation de la vitesse orbitale Physique

Un satellite suit une orbite circulaire de rayon 𝑅 autour de la Terre avec une vitesse orbitale 𝑣. Quel doit être le rayon de son orbite en fonction de 𝑅 pour que sa vitesse orbitale soit 𝑣 / 2 ?

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Transcription de vidéo

Un satellite suit une orbite circulaire de rayon 𝑅 autour de la Terre avec une vitesse orbitale 𝑣. Quel doit être le rayon de son orbite en fonction de 𝑅 pour que sa vitesse orbitale 𝑣 soit divisée par 2 ?

Nous considérons un satellite avec une orbite circulaire. Commençons donc par rappeler la formule de la vitesse orbitale, 𝑣 est égale à la racine carrée de 𝐺𝑀 divisée par 𝑟. Et même si nous n’avons aucune valeur numérique à remplacer dans cette équation, il est toujours possible de l’utiliser pour comprendre la relation entre la vitesse orbitale 𝑣 et le rayon orbital 𝑟. Dans cette question, ce sont les deux seules grandeurs qui peuvent varier. Nous allons donc les considérer comme les seules variables dans cette équation. Pour comprendre pourquoi, rappelons que 𝐺 est la constante universelle de gravitation, dont la valeur ne change jamais. Et bien que la masse 𝑀 puisse être la masse de tout objet massif situé au centre de l’orbite, ici 𝑀 représente la masse de la Terre, qui ne va pas beaucoup changer. Nous allons donc aussi considérer 𝑀 comme une constante.

Alors, pour observer comment 𝑣 et 𝑟 varient l’un par rapport à l’autre, nous allons utiliser la formule pour définir une relation de proportionnalité. Pour déterminer cette relation, nous allons commencer par recopier la formule et remplacer le signe égal par ce symbole, qui signifie « est proportionnel à ». Et comme une relation de proportionnalité définit comment des variables varient les unes par rapport aux autres, nous allons ignorer les valeurs constantes 𝐺 et 𝑀, dont les valeurs sont fixes. Et nous allons les remplacer par un 1 au numérateur. Alors, après calcul et simplification, nous obtenons que 𝑣 est proportionnel à un sur la racine carrée de 𝑟. On peut aussi dire que 𝑣 est inversement proportionnel à la racine carrée de 𝑟 car, contrairement à 𝑣, la racine carrée de 𝑟 est au dénominateur.

Donc, plus l’une des grandeurs augmente, plus l’autre diminue pour maintenir cette proportionnalité, et inversement. Alors, quelles sont les différences entre l’orbite initiale et l’orbite finale du satellite ? Alors, nous savons que la vitesse 𝑣 vaut initialement 𝑣 et que pour l’orbite finale, elle est égale à 𝑣 divisée par deux. Donc, si 𝑣 diminue, cela doit correspondre à une augmentation de la racine carrée de 𝑟. Le rayon orbital initial est 𝑅. On peut donc s’attendre à ce que l’orbite finale ait un rayon supérieur à 𝑅. Alors, si nous connaissons le facteur de réduction de 𝑣, il est possible de déterminer le facteur d’augmentation de 𝑟 en utilisant la relation de proportionnalité. Nous savons que la vitesse passe de 𝑣 à 𝑣 divisée par deux. Donc, tout le côté gauche de l’équation est divisé par deux.

Alors, à ce stade, nous pourrions simplement essayer de deviner la réponse et dire que si 𝑣 est divisée par deux, alors 𝑅 doit être multiplié par deux. Cependant, une chose très importante à noter est que 𝑟 apparaît sous une racine carrée. Par conséquent, quel que soit le facteur associé à 𝑟, il sera également sous la racine carrée. Et en fait, c’est tout ce côté droit, 1 divisé par la racine carrée de 𝑟, qui permet l’équilibre dans la relation de proportionnalité. Le nouveau facteur qui doit être associé à 𝑟 a aussi une racine carrée. Le rayon orbital doit alors être multiplié par quatre. Donc si le rayon initial est 𝑅, nous avons déterminé que pour que le satellite conserve une orbite circulaire avec une vitesse valant 𝑣 sur deux, le rayon orbital doit valoir quatre fois 𝑅.

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