Transcription de la vidéo
Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵. Sachant que la mesure de l’angle 𝐴 est de 30 degrés, que 𝐴𝐵 est égal à 37,6 centimètres et le centre du cercle 𝑀 passe par 𝐴 et 𝐵 et qu’il est tangent au segment de droite 𝐴𝐶 en 𝐴, déterminez l’aire du triangle 𝐴𝐵𝑀 au dixième de centimètre carré près.
Nous avons reçu cette description complète sans schéma. Notre premier travail ici sera d’esquisser un dessin pour représenter les informations qui nous ont été données. Nous commençons donc par le début. Nous avons le triangle 𝐴𝐵𝐶, qui a un angle droit en 𝐵. Nous savons que la mesure de l’angle 𝐴 est de 30 degrés. Le segment de droite 𝐴𝐵 mesure 37.6 centimètres. La prochaine chose que nous savons est qu’il y a un cercle de centre 𝑀 qui passe par 𝐴 et 𝐵. Cela signifie que 𝐴𝐵 est une corde du cercle.
De plus, nous savons en particulier que le segment de droite 𝐴𝐶 est une tangente au cercle, ce qui signifie que nous pouvons dessiner quelque chose comme ceci. 𝑀 est le centre de ce cercle. Puis, nous savons que les points 𝐴, 𝐵 et 𝑀 forment un triangle. À partir de là, nous devrons utiliser nos connaissances des cercles et des triangles pour déterminer cette aire. Nous voulons trouver l’aire du triangle 𝐴𝐵𝑀. Nous savons que pour trouver l’aire d’un triangle, nous calculons la moitié de la hauteur fois la base. La base de ce triangle est de 37.6. Soit le segment 𝐴𝐵. Nous pouvons donc ajouter cette valeur. La hauteur de ce triangle est la distance qui va perpendiculairement du point 𝑀 à la base. Il s’agit de la valeur manquante que nous devons trouver.
Avant de pouvoir le faire, nous devrons avoir plus d’informations. Maintenant, nous savons que le segment de droite 𝐴𝐶 est tangent à ce cercle au point 𝐴. Cela signifie qu’il forme un angle droit. Nous savons déjà que l’angle 𝐵𝐴𝐶 est de 30 degrés. Cela fera de cette partie restante de l’angle droit un angle de 60 degrés car ensemble ils forment un angle droit, qui est de 90 degrés. Maintenant, si 𝑀𝐴𝐵 mesure 60 degrés, nous savons que 𝐴𝐵𝑀 mesurera également 60 degrés. Nous le savons parce qu’ils sont tous les deux des rayons opposés du cercle, ce qui signifie que le segment 𝐴𝑀 est de longueur égale au segment 𝐵𝑀. Cela signifie également que le triangle dont nous essayons de déterminer l’aire est un triangle équilatéral, qui a 60 degrés sur les trois angles.
Seulement, encore une fois, pour que nous puissions trouver la hauteur de ce triangle, nous devons connaître cette distance. Pour trouver cela, essayons de zoomer sur cette partie de notre figure. Nous avons un angle droit et un angle de 60 degrés, ce qui signifie que l’angle restant sera de 30 degrés. Si nous appelons ce point 𝑑, lorsque nous revenons à notre figure d’origine, nous pouvons dire que 𝐴𝑑 va être de longueur égale à 𝑑𝐵. En effet, le segment de droite 𝑀𝑑, la hauteur de ce triangle, est une bissectrice perpendiculaire. Cela signifie que le segment 𝑑𝐵 est la moitié de 37.6, ce qui fait 18.8 centimètres. En regardant notre triangle ici, nous connaissons tous les angles et nous connaissons une longueur de côté.
En plus de cela, nous pouvons dire qu’il s’agit d’un triangle rectangle spécial, un triangle 30-60-90. Nous savons que le rapport des longueurs latérales dans un triangle 30-60-90 donne le rapport un à la racine carrée de trois à deux. Dans ce cas, la longueur du côté opposé à l’angle de mesure 30 degrés mesure 18,8. La longueur du côté opposé à l’angle de 60 degrés est la valeur qui nous intéresse, la hauteur de ce triangle. Pour passer de un à la racine carrée de trois, vous multipliez par la racine carrée de trois, ce qui signifie que la hauteur de notre triangle sera égale à 18.8 fois la racine carrée de trois, ce qui donne 32.5625. Cette mesure est en centimètres.
Si nous arrondissons au millième près, nous obtenons une hauteur de 32.563 centimètres. Nous prenons donc cette valeur et nous l’incluons dans notre formule d’aire. Ensuite, nous entrons cela dans notre calculatrice. Nous obtenons 612.1844. Il s’agit d’une surface, nous avons donc une mesure en centimètres carrés. Nous recherchons cette valeur arrondie au dixième de centimètre carré près. Nous regardons à droite du dixième et nous avons un huit, ce qui signifie que nous arrondirons à 612.2 centimètres carrés. L’aire du triangle 𝐴𝐵𝑀 est de 612.2 centimètres carrés.
