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Vidéo de question : Déterminer une coordonnée inconnue en utilisant la formule de la distance entre deux points Mathématiques

La distance entre (𝑎; 5) et (1; 1) est égale à 5. Quelles sont les valeurs possibles de 𝑎 ?

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Transcription de vidéo

La distance entre les points 𝑎, cinq et un, un est égale à cinq. Quelles sont les valeurs possibles de 𝑎 ?

Dans cette question, nous avons des informations sur la distance entre deux points. On rappelle donc que la formule de distance, qui est une version du théorème de Pythagore, stipule que la distance entre deux points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est 𝑑 égale racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré. Et peu importe le point que l’on choisit pour 𝑥 un, 𝑦 un et celui que l’on choisit pour 𝑥 deux, 𝑦 deux. On obtient le même résultat dans les deux cas. Nous allons donc simplement suivre l’ordre de l’énoncé ici et définir 𝑎, cinq comme le premier point, et un, un comme le point de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux.

La distance entre eux est alors égale à racine carrée de un moins 𝑎 au carré plus un moins cinq au carré. Mais rappelez-vous que la distance est égale à cinq. On peut donc dire que cette expression sur le membre droit doit être égale à cinq. Comment peut-on maintenant calculer la valeur de 𝑎 ? Eh bien, commençons par mettre les deux membres au carré. Cinq au carré égale 25. Et sur le membre droit, on a un moins 𝑎 au carré plus un moins cinq au carré. Mais un moins cinq est bien sûr égal à moins quatre et moins quatre au carré égale 16. On obtient donc 25 égale un moins 𝑎 au carré plus 16.

Nous avons maintenant deux options à ce stade. On pourrait construire et résoudre une équation du second degré en soustrayant 25 aux deux membres, en développant les parenthèses et en résolvant l’équation obtenue. Mais observons plutôt ce qui se passe si on soustrait 16 aux deux membres. 25 moins 16 égale neuf, donc on a neuf égale un moins 𝑎 au carré. On prend ensuite la racine carrée des deux membres, tout en rappelant qu’il faut conserver les racines carrées positive et négative de neuf. Donc les racines carrées positive et négative de neuf sont égales à un moins 𝑎. Bien sûr, la racine carrée de neuf est trois, on trouve donc que plus ou moins trois égale un moins 𝑎.

Ce qui nous permet de résoudre à présent ces deux équations distinctes de 𝑎. La première est l’équation plus trois égale un moins 𝑎, et la seconde est moins trois égale un moins 𝑎. Dans les deux cas, on ajoute 𝑎 aux deux membres. Ou on aurait pu multiplier les deux membres par moins un. L’objectif étant d’obtenir un signe positif devant 𝑎 pour faciliter les calculs. La première équation devient 𝑎 plus trois égale un et la deuxième, 𝑎 moins trois égale un. On soustrait ensuite trois aux deux membres de la première équation, ce qui nous donne 𝑎 égale moins deux. Et on ajoute trois aux deux membres de la seconde. Ce qui nous donne 𝑎 égale quatre. Il y a ainsi deux valeurs possibles pour 𝑎 : 𝑎 peut être égal à moins deux ou à quatre.

Bien qu’il puisse sembler inhabituel d’avoir deux solutions possibles pour 𝑎, c’est très logique d’un point de vue géométrique. Le point de coordonnées quatre, cinq se situe à une distance de cinq unités du point un, un. Mais ce deuxième point est également situé à cinq unités de un, un, et ses coordonnées sont moins deux, cinq. Par conséquent, les valeurs possibles de 𝑎 sont moins deux et quatre.

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