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Vidéo de question : Déterminer la dérivée première d’une fonction exponentielle en utilisant les règles de dérivation des fonctions composées Mathématiques

Déterminez 𝑓 ′ (4), étant donnée la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = 8𝑒 ^ (6𝑥).

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Transcription de vidéo

Déterminez 𝑓 prime de quatre étant donnée la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égal à huit 𝑒 de six 𝑥.

𝑓 prime de quatre signifie la dérivée première de la fonction 𝑓 prise en 𝑥 égal quatre. Nous remarquons que la fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction exponentielle. Il faut donc se souvenir des règles de dérivations pour ces fonctions. Rappelons que la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑒 puissance une fonction 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑔 prime de 𝑥 multipliée par 𝑒 puissance 𝑔 de 𝑥. Ceci est une application directe des règles de dérivation des fonctions composées.

Ici, la fonction 𝑔 de 𝑥 vaut six 𝑥. En appliquant la règle de puissance de la dérivation, nous obtenons que 𝑔 prime de 𝑥 est égal à six. Le facteur huit n’est qu’une constante multiplicative. Nous savons que lorsque nous dérivons, il suffit de multiplier la dérivée par huit. Nous avons donc que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à huit multiplié par 𝑔 prime de 𝑥 - soit six - multiplié par 𝑒 puissance 𝑔 de 𝑥 - qui est égale à 𝑒 puissance six 𝑥. Alors, nous pouvons simplifier et écrire ceci comme 48𝑒 puissance six 𝑥 avant de remplacer 𝑥 par quatre pour calculer sa dérivée.

Cependant, un fait intéressant avec la dérivation des fonctions exponentielles est que nous pouvons exprimer leurs dérivées en fonction de la fonction d’origine si nous le souhaitons. La fonction initiale 𝑓 de 𝑥 est égal à huit 𝑒 puissance six 𝑥. Ainsi, si nous voulons, nous pouvons exprimer 𝑓 prime de 𝑥 comme six multiplié par 𝑓 de 𝑥. Pour déterminer 𝑓 prime de quatre, nous pouvons donner le résultat en fonction de la fonction d’origine. Dans ce cas, en remplaçant 𝑥 par quatre, nous obtenons que 𝑓 prime de quatre est égal à six multiplié par 𝑓 de quatre.

Le fait de donner le résultat de cette manière ou en remplaçant directement 𝑥 égale quatre dans l’expression de 𝑓 prime de 𝑥 dépend de la question en particulier et de ce qui est demandé Ici, nous conservons notre résultat qui est que 𝑓 prime de quatre est égal à six 𝑓 de quatre.

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