Vidéo de la leçon: Suites géométriques avec termes littéraux

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons utiliser vos compétences de manipulation littérale afin de résoudre certains problèmes d’ordre géométrique. Tout d’abord, faisons un peu d’échauffement avec cette question.

Les quatrième et cinquième termes d’une suite géométrique sont respectivement 125 et 625. Trouvez les premier, deuxième, troisième et 10ème termes de la suite.

Bon, commençons par définir quelques termes. Je vais utiliser 𝑎 un pour représenter le premier terme de la suite, 𝑎 𝑛 pour représenter le 𝑛 ième terme. Donc 𝑎 deux est le deuxième terme, 𝑎 trois est le troisième terme, et ainsi de suite. Et puis je vais utiliser la lettre 𝑟 pour représenter la raison entre les termes. Nous avons donc reçu les quatrième et cinquième termes, donc 𝑎 quatre est 125 et 𝑎 cinq est 625. Et rappelez-vous, pour obtenir un terme, nous devons multiplier le terme précédent par la raison. Donc 𝑎 cinq par exemple est 𝑎 quatre fois la raison. Cela signifie donc, dans notre cas, que 625 est 125 fois 𝑟. Et en divisant les deux côtés de cette équation par 125, j’obtiens 625 sur 125 est égal à 𝑟. En d’autres termes, dans ce cas, 𝑟 est égal à cinq.

N’oubliez donc pas que pour calculer la valeur de 𝑟, la raison, nous prenons la valeur d’un terme et nous la divisons par la valeur du terme précédent. Donc, jusqu’à présent, nous avons établi que la valeur de la raison est de cinq. Donc, pour calculer la valeur de 𝑎 quatre, il suffit de prendre 𝑎 trois et de la multiplier par 𝑟. Eh bien, nous connaissons la valeur de 𝑎 quatre ; nous connaissons la valeur de 𝑟. Nous pouvons donc maintenant calculer la valeur de 𝑎 trois, le troisième terme. 125 est égal à 𝑎 trois fois cinq. Donc, en divisant les deux par cinq, le troisième terme est égal à 25. Et le troisième terme est égal au deuxième terme multiplié par 𝑟.

Eh bien, maintenant nous connaissons le troisième terme, et nous connaissons la valeur de 𝑟. Nous pouvons donc déterminer la valeur du deuxième terme. 25 est égal à 𝑎 deux fois cinq. Donc, encore une fois, nous pouvons diviser les deux côtés par cinq. Et nous savons maintenant que la valeur du deuxième terme est de cinq. De plus, la valeur du deuxième terme est la valeur du premier terme multipliée par la raison. Eh bien, la valeur du deuxième terme est de cinq. La valeur de la raison est de cinq. J’ai donc cinq est égal au premier terme fois cinq. Diviser les deux côtés par cinq me dit que le premier terme a une valeur de un. J’ai donc calculé la valeur des premier, deuxième et troisième termes.

Pour calculer la valeur du 10e terme, je pourrais simplement faire avancer cette procédure. Mais je vais déterminer la valeur du 𝑛 ième terme, donc une formule pour le 𝑛 ième terme. Et puis appliquez cela à la valeur 10. Maintenant, la formule générale pour le 𝑛 ième terme d’une suite géométrique est que le 𝑛 ième terme est égal au premier terme multiplié par la raison à la puissance 𝑛 moins un. Eh bien, je sais que le premier terme a une valeur d’un. Je sais que la raison est de cinq. Je peux donc maintenant compléter cette formule. Le 𝑛 ième terme est un fois cinq à la puissance 𝑛 moins un. Eh bien, un fois ça, je n’ai pas vraiment besoin d’écrire un fois ça. Je peux donc rendre cela un peu plus efficace. Donc, mon 𝑛 ième terme est 𝑎 𝑛, le 𝑛 ième terme est égal à cinq à la puissance 𝑛 moins un.

Maintenant, je peux utiliser cette formule pour calculer la valeur du 10e terme. Donc, je viens de mettre une valeur de 𝑛 est égal à 10. Donc, mon 10e terme va être cinq à la puissance 10 moins un. Voilà donc cinq à la puissance neuf. Et quand je mets cela dans ma calculatrice, j’obtiens 1953125. Revenons donc à la question pour nous assurer que nous y avons répondu. Nous devions trouver la valeur des premier, deuxième, troisième et 10e termes de la suite. Eh bien, les premier, deuxième et troisième termes sont un, cinq et 25. Et le 10e terme, comme nous venons de le dire, est 1953125.

D’accord, maintenant nous sommes réchauffés. Faisons une autre question qui implique vraiment un peu plus d’algèbre.

Une suite géométrique composée uniquement de termes positifs a les trois premiers termes deux, 𝑥 moins deux et 𝑥 plus 10. Trouvez les valeurs possibles de 𝑥 et la formule générale du 𝑛 ième terme de la suite.

On nous dit donc que le premier terme est deux, le deuxième terme est 𝑥 moins deux, et le troisième terme est 𝑥 plus 10. Maintenant, on ne nous a pas dit quel était la raison. Mais nous savons que la raison 𝑟 est simplement un terme divisé par le terme immédiatement précédent. Ainsi, cela pourrait être 𝑎 deux divisé par 𝑎 un ou 𝑎 trois divisé par deux, par exemple. Et la conséquence de cela est que 𝑎 deux divisé par 𝑎 un doit nous donner la même réponse que 𝑎 trois divisé par 𝑎 deux. Maintenant, nous avons des expressions pour 𝑎 un, 𝑎 deux et 𝑎 trois. Alors mettons-les dans une très grande équation.

Cela signifie donc que 𝑥 moins deux sur deux est égal à 𝑥 plus 10 sur 𝑥 moins deux. Maintenant, si j’ai multiplié les deux côtés de cette équation par deux, alors les deux annulent du côté gauche, me donnant juste 𝑥 moins deux. Et puis, j’ai deux supplémentaires sur le numérateur sur le côté droit. Maintenant, je vais multiplier les deux côtés de mon équation par 𝑥 moins deux pour essayer d’éliminer le dénominateur du côté droit. Donc sur le côté gauche, j’avais mon 𝑥 moins deux. Et puis, je l’ai multiplié par 𝑥 moins deux. Et sur le côté droit, le 𝑥 moins deux que je multiplie annule le dénominateur. Donc ça me laisse juste deux fois 𝑥 plus 10. Donc, nous faisons juste un peu d’espace pour nous-mêmes.

Nous avons 𝑥 moins deux fois 𝑥 moins deux est égal à deux fois 𝑥 plus 10. Donc, je vais multiplier ceux du côté gauche, en multipliant chaque terme dans la deuxième tranche par chaque terme dans la première tranche. Et en répartissant les deux entre parenthèses ou parenthèses sur le côté droit. Donc à gauche, j’ai 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins deux autres 𝑥 plus quatre. Et sur le côté droit, j’ai obtenu deux fois 𝑥 est deux 𝑥 plus deux fois 10 est 20. Donc ici, j’ai moins deux 𝑥 moins deux autres 𝑥, donc je peux combiner ceux-ci pour faire moins quatre 𝑥. J’ai donc une expression quadratique, donc ce que je vais faire, c’est essayer de résoudre ça. Je dois donc rendre cela égal à zéro. Je vais donc soustraire deux 𝑥 des deux côtés, puis soustraire 20, me donnant un discriminant égal à zéro. Avec un peu de chance, je pourrai prendre en compte puis trouver les valeurs de 𝑥.

Donc, tout d’abord, soustrayons deux 𝑥. Donc, sur le côté gauche, nous avons 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins deux autres 𝑥 est moins six 𝑥. Et puis nous avons encore obtenu notre plus quatre. Et sur le côté droit, nous supprimons ces deux 𝑥, ce qui nous laisse juste avec 20. Alors maintenant, soustrayons 20. Donc sur le côté gauche, j’ai 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus quatre moins 20 est moins 16, moins 16. Et sur le côté droit, si je retire 20, je n’ai rien. Alors maintenant, j’ai un discriminant qui est égal à zéro. Si je peux factoriser cette expression quadratique, je peux trouver les valeurs de 𝑥. Et heureusement, c’est assez facile à prendre en compte. 𝑥 plus deux fois 𝑥 moins huit. Donc, ces deux choses multipliées ensemble sont égales à zéro.

Et la seule façon d’obtenir une réponse de zéro si vous multipliez deux choses ensemble est si l’une d’elles est nulle. Donc, soit 𝑥 plus deux est zéro ou 𝑥 moins huit est nul. Et si 𝑥 plus deux est égal à zéro, alors 𝑥 sera égal à moins deux. Et pour que 𝑥 moins huit soit égal à zéro, 𝑥 devrait être égal à huit. Nous avons donc deux valeurs possibles de 𝑥. Rappelez-vous maintenant, la question a dit que la suite géométrique se compose uniquement de termes positifs. Ces termes doivent donc être positifs. Nous savons également que le premier terme est de deux. Le deuxième terme est 𝑥 moins deux. Et le troisième terme est 𝑥 plus 10. Donc, si 𝑥 était égal à moins deux, le deuxième terme serait moins deux moins deux, soit moins quatre. Cela enfreindrait donc la règle. Cela ne peut donc pas réellement être une solution.

Ainsi, la seule valeur de 𝑥 qui satisfait aux instructions de la question, si vous le souhaitez, est 𝑥 est égale à huit. Et si 𝑥 est égal à huit, je peux maintenant écrire correctement les trois premiers termes de ma suite. Eh bien, 𝑎 on est encore deux. 𝑎 deux est 𝑥 moins deux, c’est donc huit moins deux, ce qui fait six. Et 𝑎 trois est 𝑥 plus 10. Donc, c’est huit plus 10 est 18. Donc les trois premiers termes sont deux, six et 18. Et je peux trouver la raison 𝑟 juste en faisant le deuxième terme divisé par le premier terme. Voilà donc six divisé par deux. La raison est donc de trois. Et la formule générale du 𝑛 ième terme de toute suite est 𝑎 𝑛, le 𝑛 ième terme, est égal au premier terme, 𝑎 un, multiplié par la raison, 𝑟, à la puissance 𝑛 moins un. Maintenant, nous avons des valeurs pour 𝑎 un et 𝑟. Mon 𝑛 e formule terme devient le 𝑛 e terme, 𝑎 𝑛, est égale à deux fois trois à la puissance 𝑛 moins un.

Et strictement, vous n’avez pas besoin de mettre les parenthèses autour des trois. Mais cela montre clairement que seuls les trois sont à la puissance 𝑛 moins un et pas les deux aussi. Nous revenons donc en arrière et vérifions que nous avons tout répondu. Trouvez les valeurs possibles de 𝑥. Eh bien, il n’y a qu’une seule valeur de 𝑥, si la suite est seulement va consister en des termes positifs. Et nous voulions la formule générale du 𝑛 ième terme de la suite. Et nous l’avons ici.

D’accord, on dirait que nous avons terminé.