Transcription de la vidéo
𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que 𝐴𝐵 est égal à 18 centimètres, la mesure de l’angle 𝐵 est égale à 60 degrés et l’aire du triangle vaut 74 racines de trois centimètres carrés. Déterminez la longueur 𝐵𝐶, en donnant la réponse au centième près.
Commençons par esquisser ce triangle du mieux que nous pouvons. Nous savons que nous avons un côté de 18 centimètres de longueur, le voici. Puis, la mesure de l’angle en 𝐵 est de 60 degrés. Nous pouvons tracer une droite qui rencontre le côté 𝐴𝐵 à un angle de 60 degrés, mais nous ne connaissons pas la longueur de ce côté. Il y a beaucoup de possibilités à ce stade pour trouver à quoi ressemble le triangle. Cela pourrait ressembler à l’une ou l’autre de ces deux possibilités. En fait, le côté 𝐵𝐶 pourrait être étendu hors de l’écran et l’angle en 𝐴 pourrait être un angle obtus. L’autre information qui nous est donnée dans la question est que l’aire de ce triangle est de 74 racines de trois centimètres carrés.
Maintenant, une formule qui nous sera utile ici est la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle. Cela nous indique que dans un triangle 𝐴𝐵𝐶, où les lettres majuscules 𝐴, 𝐵 et 𝐶 représentent les mesures des trois angles du triangle et les lettres minuscules 𝑎, 𝑏 et 𝑐 représentent les longueurs des trois côtés opposés à ces angles, alors l’aire de ce triangle est égale à un demi 𝑎𝑏 sin 𝐶. Maintenant, les lettres 𝑎, 𝑏 et 𝑐 ici ne sont pas vraiment importantes tant que nous nous souvenons de ce qu’elles représentent. Les lettres minuscules 𝑎 et 𝑏 représentent les longueurs de deux côtés quelconques dans un triangle et la lettre majuscule 𝐶 représente la mesure de leur angle. Nous pouvons calculer l’aire de n’importe quel triangle en utilisant cette formule, à condition de disposer de cette combinaison spécifique d’informations.
En revenant à notre triangle 𝐴𝐵𝐶, nous connaissons la longueur d’un côté de ce triangle et nous voulons calculer la longueur d’un autre côté. Nous connaissons également la mesure de l’angle inclus entre ces deux côtés et l’aire du triangle. Nous pouvons donc former une équation en utilisant la formule trigonométrique. Un demi multiplié par 𝐴𝐵 multiplié par 𝐵𝐶 multiplié par sinus de 60 degrés est égal à 74 racine de trois. La longueur de 𝐴𝐵 est de 18 centimètres, et le sinus de 60 degrés donne racine de trois sur deux. Ainsi, nous avons un demi multiplié par 18 multiplié par 𝐵𝐶 multiplié par la racine de trois sur deux égale 74 racine de trois.
Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour trouver la longueur de 𝐵𝐶. En simplifiant le côté gauche, nous avons 18 racine de trois sur quatre multiplié par 𝐵𝐶, cela donne 74 racine de trois. Nous pouvons alors annuler un facteur racine trois de chaque côté de l’équation. Nous pouvons également simplifier 18 sur quatre en neuf sur deux en divisant le numérateur et le dénominateur par deux. Pour trouver 𝐵𝐶, nous devons diviser les deux côtés de l’équation par neuf sur deux, ce qui revient à multiplier par l’inverse de cette valeur, qui est deux neuvièmes. Nous trouvons alors que 𝐵𝐶 est égal à 148 sur neuf.
La question spécifie que nous devons donner notre réponse à deux décimales près, nous devons donc l’évaluer comme un nombre décimal. Nous obtenons 16.4 avec le 4 qui se répète, ce qui, à deux décimales près, donne 16.44. 𝐵𝐶 est une longueur, donc elle aura les mêmes unités de longueur que les autres valeurs de la question, qui étaient des centimètres.
Ainsi, en rappelant la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle et en travaillant ensuite en connaissant l’aire de ce triangle, nous avons constaté que la longueur 𝐵𝐶 à deux décimales près est de 16.44 centimètres.
