Transcription de la vidéo
Une échelle uniforme d’un poids de 72 newtons repose avec son extrémité supérieure
contre un mur vertical lisse et son extrémité inférieure contre un sol horizontal
rugueux, où le coefficient de frottement entre l’échelle et le sol est de racine de
trois sur cinq. Lorsqu’une force d’intensité 12 newtons agit sur l’extrémité inférieure de l’échelle
en essayant de l’éloigner du mur dans une direction au-dessus de l’horizontale, où
la force fait un angle de 30 degrés avec l’horizontale, l’échelle est sur le point
de glisser. Déterminez la tangente de l’angle que l’échelle fait avec le sol horizontal.
Nous allons commencer par ajouter toutes les forces et toutes les informations que
nous connaissons sur cette échelle au schéma lui-même. Tout d’abord, on nous dit que l’échelle est uniforme. Cela signifie que nous pouvons modéliser la force vers le bas de son poids comme
agissant à un point exactement au milieu de l’échelle. Alors, on ne nous donne pas la longueur de l’échelle, donc nous allons la définir
comme ayant 𝐿 unités de longueur. Ensuite, la force vers le bas de son poids se produit en un point d’un demi-longueur
unités de chaque extrémité de l’échelle. Ensuite, on nous dit que le mur est lisse, donc il n’y a pas de force de frottement
entre le mur et l’échelle.
Le sol est cependant rugueux. Cela signifie qu’il existe une force de frottement entre l’échelle et le sol. Cette force de frottement agira dans le sens contraire auquel l’échelle tente de se
déplacer. Donc, sur notre schéma, la force de frottement agit vers la gauche.
Ensuite, on nous dit aussi que le coefficient de frottement entre l’échelle et le sol
est racine trois sur cinq. Nous définirons cela comme 𝜇. Et nous y reviendrons dans un instant. La force d’intensité 12 newtons qui agit sur l’extrémité inférieure de l’échelle est
déjà tracée sur le schéma. Et nous voyons qu’elle fait un angle de 30 degrés avec l’horizontale. Et à ce stade, l’échelle est sur le point de glisser. Cela signifie que l’échelle est en équilibre limite. Et donc la somme vectorielle des forces qui agissent sur l’échelle est égale à
zéro. Mais de même, si nous prenons des moments autour de n’importe quel point de
l’échelle, la somme de ces moments doit être égale à zéro.
La question nous demande de déterminer la tangente de l’angle que l’échelle fait avec
le sol horizontal. Ajoutons donc cet angle à notre schéma. Et nous appellerons cela 𝜃. Ensuite, parce que l’échelle exercera une certaine force sur le sol et le mur, nous
savons qu’il doit y avoir une force de réaction normale en chacun de ces points. Nous les définirons comme étant respectivement 𝑅 indice 𝑠 et 𝑅 indice 𝑚 la force de
réaction du sol sur l’échelle et la force de réaction du mur sur l’échelle. Nous avons suffisamment d’informations pour commencer, alors faisons un peu de
l’espace pour continuer.
Nous remarquons qu’il y a plusieurs forces sur notre schéma, nous allons donc
commencer par calculer les forces à la fois dans la direction verticale et
horizontale. Cela nous permettra d’obtenir des informations supplémentaires sur, par exemple, la
force de frottement à la base de l’échelle. Nous allons commencer par les forces verticales. Et prenons le sens ascendant comme le sens positif. Rappelez-vous, nous avons dit que la somme de ces forces est égale à zéro ; l’échelle
est en équilibre limite. Dans le sens ascendant, nous avons 𝑅 indice s. Nous devons également réfléchir à la composante de la force de 12 newtons qui agit
dans la direction verticale vers le haut. Donc, en ajoutant un côté à cela pour créer un triangle rectangle, nous voulons
calculer la mesure 𝑥.
C’est le côté opposé de notre angle inclus. Et nous savons que l’hypoténuse est égale à 12. Nous pouvons donc utiliser le rapport sinus, où sin de 30 est 𝑥 sur 12 ou 𝑥 égale
12 sin de 30. Comme le sin de 30 est égal à un demi, on va avoir 12 sin de 30 est six ou six
newtons. La somme des forces agissant verticalement vers le haut est donc 𝑅 indice 𝑠 plus
six. Nous soustrayons la force vers le bas du poids de l’échelle. Et nous avons maintenant la somme de toutes les forces agissant dans cette
direction. C’est 𝑅 indice 𝑠 plus six moins 72, ce qui se simplifie en 𝑅 indice 𝑠 moins 66.
Mais rappelez-vous, la somme de ces forces est égale à zéro, donc 𝑅 indice 𝑠 moins
66 est égale à zéro, ce qui signifie que 𝑅 indice 𝑠 est égal à 66 ou 66
newtons. Alors, cela est vraiment utile pour nous aider à calculer la valeur de la force de
frottement. En plus, nous pourrons ensuite calculer la valeur de la force de réaction au mur.
Résolvons dans le sens horizontal. Et cette fois-ci, nous allons prendre le sens de droite positif. Nous avons 𝑅 indice 𝑚 qui agit dans ce sens, mais il y a une deuxième force qui agit
vers la droite. C’est la composante horizontale de la force de 12 newtons. Appelons cela 𝑦. Nous pouvons utiliser la trigonométrie ou le théorème de Pythagore pour calculer
cette valeur.
Utilisons la trigonométrie. Nous obtenons cos de 30 est 𝑦 sur 12. Donc 𝑦 est 12 cos de 30, mais en fait cos de 30 degrés est la racine de trois sur
deux. Donc 𝑦 est six fois racine de trois newtons. Ainsi, la somme des forces agissant vers la droite est 𝑅 indice 𝑚 plus six racine
trois. Mais alors nous avons la force de frottement agissant vers la gauche. Ainsi, la somme de toutes nos forces dans cette direction est 𝑅 indice 𝑚 plus six
racine trois moins la force de frottement.
Mais nous connaissons une formule qui nous aidera à réécrire cela. La force de frottement est égale à 𝜇𝑅. C’est le coefficient de frottement multiplié par la force de réaction normale en ce
point. On nous donne que le coefficient de frottement est la racine de trois sur cinq. Et nous venons de calculer la force de réaction normale à ce point. C’est 66 newtons. Donc, la force de frottement ici est racine trois sur cinq fois 66. Et cela se simplifie en 𝑅 indice 𝑚 moins 36 racine trois sur cinq.
Encore une fois, bien sûr, la somme des forces agissant dans cette direction est
nulle. Ainsi, la force de réaction normale au mur doit être égale à 36 racine trois sur cinq
newtons.
Alors, que faisons-nous ensuite ? Nous devons encore déterminer la tangente de l’angle que nous avons défini comme
étant égal à 𝜃. Eh bien, rappelez-vous que nous avons dit que la somme des moments autour d’un point
donné sera égale à zéro. Nous allons donc prendre les moments sur un point spécifique de l’échelle. Libérons un peu de l’espace.
Il convient de noter que nous pouvons prendre des moments par rapport à n’importe
quel point de l’échelle. Mais comme le moment est le produit de la force et de sa distance perpendiculaire au
pivot, il est souvent judicieux de choisir le point autour duquel nous prenons les
moments comme étant celui sur lequel la majorité des forces agissent. Eh bien, ici, c’est le pied de l’échelle. Il y a une, deux, trois forces agissant en ce point. Nous allons donc prendre les moments par rapport au pied de l’échelle. Nous allons donc prendre des moments par rapport au sol, donc des moments autour de
S. Et nous prendrons le sens inverse des aiguilles d’une montre comme le sens
positif.
Tout d’abord, considérons le moment du poids de l’échelle. Puisque la force et la distance doivent être perpendiculaires entre elles pour
calculer le moment, nous allons trouver la composante de cette force qui agit
perpendiculairement à l’échelle. Appelons cela 𝑎. Et en traçant un triangle rectangle, nous voyons que nous avons un angle inclus de
𝜃. Alors, 𝑎 est le côté adjacent dans ce triangle. Et nous connaissons l’hypoténuse. Nous allons donc utiliser le rapport cosinus. Lorsque nous le faisons, nous constatons que cette composante est 72 cos 𝜃. Ainsi, le moment de cette force autour de la base de l’échelle est de 72 cos 𝜃
multiplié par la distance, qui, nous l’avons dit, est d’un demi 𝐿.
Eh bien, nous avons trouvé le moment de cette force. Nous devons ensuite considérer la force de réaction du mur. Encore une fois, cette force de réaction fait un angle de 𝜃 avec l’échelle. Et nous devons calculer la composante de cette force qui agit perpendiculairement à
l’échelle. En étiquetant ce côté 𝑏, nous voyons que c’est le côté opposé d’un triangle pour
lequel nous connaissons l’hypoténuse. Nous utilisons donc le rapport sinus, où 𝑏 est 𝑅 indice 𝑚 sin 𝜃. Mais nous avons calculé que 𝑅 indice 𝑚 est 36 racine trois sur cinq. Et ainsi nous avons la contribution due à 𝑏.
Nous remarquons que cette force essaie de déplacer l’échelle dans le sens des
aiguilles d’une montre, son moment sera donc négatif. C’est moins 36 racine trois sur cinq sin 𝜃 fois 𝐿. Rappelez-vous, la longueur de l’échelle est bien sûr donnée en unités de
longueur. La somme de ces moments est bien sûr égale à zéro. Nous avons donc une équation finalisée. C’est 72 cos 𝜃 fois un demi 𝐿 moins 36 racine de trois sur cinq sin 𝜃 fois 𝐿 est
égal à zéro. Ensuite, nous savons que la longueur de l’échelle ne peut pas être égale à zéro. Donc, en fait, nous pouvons simplifier l’équation en divisant par 𝐿. 72 fois un demi, c’est 36. Donc, notre équation simplifie à 36 cos 𝜃 moins 36 racine de trois sur cinq sin 𝜃
est égal à zéro. En fait, nous pouvons alors encore une fois diviser par 36.
Remarquez que nous essayons de trouver la tangente de l’angle. Et donc nous pouvons utiliser l’identité tan 𝜃 égale sin 𝜃 sur cos 𝜃 pour trouver
le tan de notre angle 𝜃. Nous devons trouver un moyen d’atteindre sin 𝜃 divisé par cos 𝜃. Donc, ajoutons d’abord la racine de trois sur cinq sin 𝜃 aux deux côtés de notre
équation. Cela nous donne cos 𝜃 égale racine de trois sur cinq sin 𝜃. Ensuite, si nous divisons par cos 𝜃, il nous reste un sur le côté gauche. Mais bien sûr, sur ce côté droit, sin 𝜃 sur cos 𝜃 est tan 𝜃. Donc, notre équation devient un est égal à la racine de trois sur cinq tan 𝜃.
Il n’y a qu’une étape de plus. Nous devons diviser les deux côtés de cette équation par la racine de trois sur
cinq. Un divisé par la racine de trois sur cinq est cinq sur la racine de trois. Nous allons simplifier cette expression en rationalisant le dénominateur. Et nous le faisons en multipliant le numérateur et le dénominateur par la racine de
trois. Racine de trois fois racine de trois est trois, donc le dénominateur devient
trois. Et nous avons trouvé la tangente de l’angle que l’échelle fait avec le sol
horizontal. C’est cinq racine de trois sur trois.
