Transcription de la vidéo
Dans la figure ci-dessous, 𝐷𝐸 et 𝐵𝐶 sont parallèles. Utilisez la similitude pour déterminer la valeur de 𝑥.
Puisque la droite 𝐷𝐸 est parallèle à la droite 𝐵𝐶, ces deux triangles sont
semblables. Le triangle 𝐴𝐷𝐸 est une réduction du triangle 𝐴𝐵𝐶. Puisque les angles sont égaux, ils sont superposables et donc les côtés de ces
triangles sont proportionnels. Cela signifie qu’il existe une valeur, un rapport d’agrandissement-réduction, par
lequel nous pouvons multiplier chaque longueur du petit triangle pour obtenir la
longueur correspondante du grand triangle. Nous pouvons représenter ces triangles côte à côte si cela aide. La longueur de 𝐴 à 𝐵 sera la longueur 𝐴𝐷 plus la longueur 𝐷𝐵. Soit 𝑥 plus trois. Ainsi, la longueur de 𝐴 à 𝐶 est la longueur 𝐴𝐸 plus la longueur de 𝐸 à 𝐶. Cela donne cinq plus 𝑥 plus deux soit 𝑥 plus sept.
Pusique ces triangles sont semblables, nous pouvons trouver un rapport
d’agrandissement-réduction. Cela représente simplement le rapport entre les côtés correspondants. Par exemple, puisque le côté 𝐴𝐸 correspond au côté 𝐴𝐶, il existe un rapport
d’agrandissement-réduction par lequel nous pouvons multiplier la longueur du côté
𝐴𝐸 pour obtenir la longueur du côté 𝐴𝐶. Puis si nous considérons la longueur du côté 𝐴𝐷, nous devrions pouvoir multiplier
par ce même rapport pour obtenir la longueur du côté 𝐴𝐵. Voilà donc le concept que nous allons utiliser pour résoudre ce problème. Le rapport des longueurs correspondantes peut être trouvé en prenant la nouvelle
longueur et en la divisant par la longueur initiale. Ainsi, en considérant les longueurs de 𝐴𝐶 et 𝐴𝐸, qui sont des côtés
correspondants, leur rapport vaut 𝑥 plus sept sur cinq.
Maintenant, cela devrait nous donner exactement la même valeur que celle du rapport
entre les côtés 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷. Nous pouvons retrouver le rapport d’agrandissement-réduction des côtés correspondants
𝐴𝐵 et 𝐴𝐷 en divisant la nouvelle longueur par la longueur initiale. Soit 𝑥 plus trois sur trois. Ainsi, ce que nous disons, c’est que ces deux rapports doivent être exactement les
mêmes. Ainsi 𝑥 plus sept sur cinq doit être égal à 𝑥 plus trois sur trois. Nous pouvons alors résoudre ceci à l’aide du produit en croix. On peut ensuite développer les parenthèses. Cela nous donne trois 𝑥 plus 21 égal cinq 𝑥 plus 15. Ensuite, en soustrayant trois 𝑥 à chaque membre, puis en soustrayant 15 à chaque
membre, on obtient que six est égal à deux 𝑥. Cela nous donne que 𝑥 est égal à trois.
Notez que, pour cette question, nous aurions pu choisir comme nouvelle longueur celle
du triangle le plus petit et comme longueur initiale celle du triangle le plus
grand. Nous aurions juste fini avec le numérateur et le dénominateur inversés dans les deux
rapports. Cependant, nous aurions quand même obtenu la même réponse, 𝑥 égal trois.
