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Vidéo de question : Déterminer la parité d’une fonction rationnelle à partir de sa courbe représentative Mathématiques

La fonction représentée par la figure est-elle paire, impaire, ou ni paire ni impaire ?

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Transcription de vidéo

La fonction représentée par la figure est-elle paire, impaire, ou ni paire ni impaire ?

On demande la parité de la fonction représentée par cette courbe représentative, et trois possibilités se présentent. La fonction est soit paire, soit impaire, soit ni l’un ni l’autre. Rappelons ce que signifient les termes pair et impair pour une fonction.

Une fonction 𝑓 de est paire si 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥. Ce doit être vrai pour toutes les valeurs de 𝑥. Donc 𝑓 de moins un doit être égal à 𝑓 de un, 𝑓 de moins sept doit être égal à 𝑓 de sept, 𝑓 de moins 𝜋 doit être égal à 𝑓 de 𝜋, etc.

La définition d’une fonction impaire est très proche : une fonction 𝑓 de est impaire si 𝑓 de moins 𝑥 égale moins 𝑓 de 𝑥. Donc pour une fonction impaire, 𝑓 de moins un est égal à moins 𝑓 de un, 𝑓 de moins sept est égal à moins 𝑓 de sept, et 𝑓 de moins 𝜋 est égal à moins 𝑓 de 𝜋.

Et contrairement aux entiers, notre fonction 𝑓 de n’est pas nécessairement paire ou impaire ; elle peut être ni l’un ni l’autre. Vérifions d’abord si la fonction est paire. Autrement dit, 𝑓 de moins 𝑥 est-elle égale à 𝑓 de 𝑥 pour toutes les valeurs de 𝑥 ? Eh bien, testons une valeur de 𝑥, par exemple un, et trouvons 𝑓 de moins un.

Donc on regarde la valeur moins un sur l’axe des 𝑥, on monte jusqu’à atteindre la courbe, et on voit que 𝑓 de moins un est égal à un. Donc pour que 𝑓 soit paire, 𝑓 de un doit aussi être égal à un. On utilise la même méthode pour trouver 𝑓 de un, cette fois en descendant jusqu’à atteindre la courbe. Par lecture sur l’axe des 𝑦, on constate que 𝑓 de un est égal à moins un. Donc clairement, 𝑓 de moins un n’est pas égal à 𝑓 de un, et donc 𝑓 de n’est pas paire.

Rappelez-vous que ça ne veut pas dire que 𝑓 de est impaire ; 𝑓 de peut être ni paire ni impaire. Regardons maintenant si 𝑓 de est impaire, donc 𝑓 de moins 𝑥 est-elle égale à moins 𝑓 de 𝑥 pour tout 𝑥 ? On peut utiliser les valeurs de la fonction que nous avons déjà trouvées — il serait dommage de ne pas s’en servir — et on voit que 𝑓 de moins un est égal à moins 𝑓 de un.

Du membre gauche, on a un, et du membre droit, on a moins moins un, ce qui est égal à un. Il est donc vrai que 𝑓 de moins 𝑥 est égal à moins 𝑓 de 𝑥 pour 𝑥 égale un, mais le fait que 𝑓 de moins 𝑥 soit égal à moins 𝑓 de 𝑥 pour une valeur de 𝑥 n’est pas suffisant ; ce doit être vrai pour toutes les valeurs de 𝑥.

Testons une autre valeur de 𝑥, par exemple sept. Bien qu’il soit difficile de lire les valeurs de 𝑓 de moins sept et de 𝑓 de sept, elles semblent être opposées 𝑓 de moins sept est légèrement supérieure à zéro et 𝑓 de sept légèrement inférieure à zéro. Et on pourrait continuer à tester des valeurs de 𝑥 jusqu’à être convaincu que 𝑓 de est en effet une fonction impaire.

Ici on a utilisé la définition d’une fonction impaire pour montrer que la fonction est effectivement impaire, mais il existe une autre méthode ; on peut utiliser une propriété des fonctions impaires. Une fonction est impaire si sa courbe représentative présente une symétrie centrale par rapport à l’origine.

On voit que c’est le cas de notre courbe : en la pivotant de 180 degrés par rapport à l’origine, la courbe reste inchangée. Et il existe une propriété semblable pour les fonctions paires : une fonction est paire si sa courbe représentative présente une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦. Donc par réflexion de la courbe représentative d’une fonction paire par rapport à l’axe des 𝑦, la courbe reste inchangée.

En regardant notre courbe, on voit qu’elle n’est pas symétrique par rapport à l’axe des 𝑦, donc la fonction n’est pas paire, mais comme évoqué plus tôt, comme la courbe présente une symétrie centrale par rapport à l’origine, la fonction est impaire.

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