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Déterminer l’expression 𝛕 de ℎ de la fonction taux d’accroissement pour la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus deux en 𝑥 est égal à un, et sachant que 𝛕 de un demi est égal à sept sur deux et que 𝑓 de un est égal à six, déterminez les constantes 𝑎 et 𝑏.
Dans cette question, on nous demande de déterminer la fonction de variation 𝛕 de ℎ pour une fonction quadratique inconnue 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 est égale à un. Il s’agit de la première partie de la question. Alors, commençons par ceci. Pour ce faire, nous allons devoir rappeler ce que nous entendons par la fonction taux d’accroissement d’une fonction 𝑓 de 𝑥 en une valeur spécifique. Nous pouvons rappeler que la fonction taux d’accroissement 𝛕 de ℎ pour une fonction 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale 𝑑 est donnée par 𝑓 de 𝑑 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑑. Il s’agit d’une mesure de la variation de la fonction lorsque 𝑥 passe de 𝑑 à 𝑑 plus ℎ.
Dans notre cas, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est le polynôme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus deux et notre valeur de 𝑑 est égale à un. Premièrement, pour déterminer la fonction taux d’accroissement 𝛕 de ℎ, commençons par substituer 𝑑 égale un. Nous obtenons que 𝛕 de ℎ est égal à 𝑓 de un plus ℎ moins 𝑓 de un. Ainsi, pour trouver une expression pour notre fonction taux d’accroissement, nous allons devoir substituer 𝑥 est égal à un plus ℎ et 𝑥 est égal à un dans la fonction donnée 𝑓 de 𝑥.
Tout d’abord, nous substituons 𝑥 est égal à un plus ℎ dans la fonction 𝑓 de 𝑥. Nous obtenons 𝑎 multiplié par un plus ℎ au carré plus 𝑏 fois un plus ℎ plus deux. Nous devons ensuite soustraire 𝑓 de un. Ainsi, nous devons soustraire 𝑎 fois un carré plus 𝑏 fois un plus deux. Cela nous donne l’expression suivante pour notre fonction taux d’accroissement. Nous devons maintenant simplifier cette expression. Tout d’abord, commençons par répartir l’exposant entre parenthèses dans notre premier terme. Nous pouvons le faire en utilisant la formule binomiale ou en utilisant la double distributivité. Dans les deux cas, nous distribuons ceci pour obtenir un plus deux ℎ plus ℎ au carré et nous devons multiplier cela par 𝑎.
Dans notre deuxième terme, nous pouvons répartir la valeur de 𝑏 sur les parenthèses. Nous multiplions chaque terme par 𝑏. 𝑏 fois un donne 𝑏 et 𝑏 fois ℎ donne 𝑏ℎ. Nous ajoutons ensuite deux à cette valeur que nous pouvons simplifier davantage. Nous remarquons que 𝑎 fois un au carré est égal à 𝑎 et que 𝑏 fois un est égal à 𝑏. Enfin, nous pouvons distribuer le signe négatif sur ces parenthèses. Ainsi, nous soustrayons 𝑎, nous soustrayons 𝑏 et nous soustrayons deux, nous donnant l’expression suivante pour 𝛕 de ℎ. Nous pouvons simplifier davantage cette expression. Nous pouvons remarquer que nous avons 𝑏 moins 𝑏, ce qui est égal à zéro, et nous avons également deux moins deux, ce qui est également égal à zéro.
Distribuons maintenant 𝑎 dans les parenthèses dans notre premier terme. Nous multiplions chaque terme entre parenthèses par 𝑎. Nous obtenons 𝑎 plus deux 𝑎ℎ plus 𝑎ℎ au carré et nous devons ajouter 𝑏ℎ et soustraire 𝑎. Nous pouvons continuer à simplifier. Nous avons 𝑎 moins 𝑎, ce qui est égal à zéro. Enfin, nous pouvons remarquer que le premier et le troisième terme de cette expression partagent un facteur ℎ. Ainsi, en factorisant, nous obtenons alors que 𝛕 de ℎ est égal à 𝑎ℎ carré plus ℎ multiplié par deux 𝑎 plus 𝑏.
Libérons maintenant de l’espace et passons à la deuxième partie de cette question. Nous devons déterminer les valeurs des constantes 𝑎 et 𝑏 en utilisant deux informations. 𝛕 évalué en un demi est égal à sept sur deux et 𝑓 de un est égal à six. Commençons donc par la première équation qui nous est donnée. 𝛕 évalué en un demi est égal à sept sur deux. Nous pouvons trouver une expression pour 𝛕 de un demi en substituant ℎ est égal à un demi dans notre équation pour 𝛕 de ℎ.
La substitution de ℎ est égale à un demi dans notre fonction 𝛕 de ℎ nous donne que 𝛕 de un demi est égal à 𝑎 fois un demi carré plus un demi multiplié par deux 𝑎 plus 𝑏. A présent, nous pouvons simplifier. Tout d’abord, un demi au carré est égal à un quart, donc le premier terme est 𝑎 sur quatre. Au deuxième terme, nous pouvons distribuer un demi sur les parenthèses pour obtenir 𝑎 plus 𝑏 sur deux. Ainsi, nous avons 𝑎 sur quatre plus 𝑎 plus 𝑏 sur deux. Les deux premiers termes 𝑎 sur quatre plus 𝑎 se simplifient pour nous donner cinq 𝑎 sur quatre. Rappelez-vous, ceci doit être égal à sept sur deux.
Ainsi, nous avons une équation impliquant 𝑎 et 𝑏. Libérons un peu l’espace et trouvons la deuxième équation en utilisant le fait que 𝑓 de un est égal à six. Nous avons que six est égal à 𝑓 évalué à un. Nous pouvons trouver une expression pour 𝑓 de un en substituant 𝑥 est égal à un dans 𝑓 de 𝑥. Cela nous donne que six est égal à 𝑎 fois un carré plus 𝑏 multiplié par un plus deux. Nous pouvons simplifier cela et cela donne 𝑎 plus 𝑏 plus deux. Rappelez-vous, cela doit être égal à six. Cependant, nous pouvons soustraire deux des deux côtés de l’équation. Puisque six moins deux est égal à quatre, nous obtenons que quatre est égal à 𝑎 plus 𝑏.
Nous avons maintenant une paire d’équations simultanées en fonction de 𝑎 et 𝑏. Nous pouvons résoudre ce problème de différentes manières. Commençons par libérer de l’espace. Une façon de résoudre ces équations simultanées est de remarquer que dans la deuxième équation, les coefficients de 𝑎 et 𝑏 sont tous les deux égaux à un. Ainsi, nous pouvons facilement réorganiser cette équation pour trouver une expression de 𝑏 en fonction de 𝑎 ou de 𝑎 en fonction de 𝑏. Par exemple, si nous soustrayons 𝑏 des deux côtés de l’équation, nous voyons que 𝑎 doit être égal à quatre moins 𝑏. Nous pouvons alors substituer 𝑎 est égal à quatre moins 𝑏 dans notre première équation simultanée. Faire cela nous donne alors que sept sur deux est égal à cinq fois quatre moins 𝑏 sur quatre plus 𝑏 sur deux.
Nous avons maintenant une équation entièrement en fonction de 𝑏. Ainsi, nous pouvons trouver 𝑏 en isolant 𝑏 d’un côté de l’équation. Pour ce faire, commençons par distribuer cinq sur les parenthèses. Nous multiplions chaque terme entre parenthèses par cinq. Nous obtenons 20 moins cinq 𝑏 et nous devons diviser tout cela par quatre. Ainsi, nous avons sept sur deux est égal à 20 moins cinq 𝑏 sur quatre plus 𝑏 sur deux. Nous pouvons simplifier notre équation en multipliant les deux côtés de l’équation par le plus petit multiple commun des dénominateurs. Dans ce cas, il s’agit de quatre. Nous multiplions donc les deux côtés de l’équation par quatre pour éliminer les dénominateurs. La multiplication des deux côtés de l’équation par quatre nous donne que 14 est égal à 20 moins cinq 𝑏 plus deux 𝑏.
Maintenant, nous pouvons simplement résoudre cette équation pour 𝑏. Moins cinq 𝑏 plus deux 𝑏 donne moins trois 𝑏. Nous pouvons réorganiser l’équation pour obtenir que trois 𝑏 est égal à six, puis diviser les deux côtés de l’équation par trois. Nous voyons que 𝑏 est égal à deux. Nous pouvons vérifier cela en substituant 𝑏 est égal à deux dans notre équation uniquement en fonction de 𝑏. Nous pouvons également utiliser cette valeur de 𝑏 pour déterminer la valeur de 𝑎 puisque rappelez-vous, 𝑎 est égal à quatre moins 𝑏.
Ainsi, substituer 𝑏 est égal à deux dans cette équation nous donne que 𝑎 est égal à quatre moins deux, ce qui se simplifie pour nous donner deux. Maintenant que nous avons montré que 𝑎 est égal à deux et que 𝑏 est égal à deux, nous pourrions substituer les valeurs de ces constantes dans notre fonction 𝛕 de ℎ. Cependant, ce n’est pas nécessaire. Nous pouvons simplement dire que 𝑎 est égal à deux et que 𝑏 est égal à est deux.
Par conséquent, nous avons pu montrer la fonction de variation 𝛕 de ℎ pour 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus deux en 𝑥 est égal à un est 𝛕 de ℎ est égal à 𝑎ℎ carré plus ℎ fois deux 𝑎 plus 𝑏. De plus, si 𝛕 de un demi est égal à sept sur deux et que 𝑓 de un est égal à six, alors 𝑎 est égal à deux et 𝑏 est égal à deux.
