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Vidéo de question : Calculer la pression d’un gaz dans un manomètre à colonne de liquide Physique

Le schéma illustre un manomètre à colonne de liquide relié à une extrémité à un réservoir de gaz et à l’autre extrémité à l’atmosphère. Le tube en forme de U contient du mercure, dont la masse volumique est de 13 595 kg/m³. Selon la verticale, le sommet de la colonne de mercure en contact avec l’atmosphère est au-dessus du sommet de la colonne de mercure en contact avec le réservoir de gaz. La distance verticale entre les sommets des colonnes ℎ = 45,0 cm. Trouvez la pression du gaz dans le réservoir. Prenez une valeur de 101,3 kPa pour la pression atmosphérique.

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Transcription de vidéo

Le schéma illustre un manomètre à colonne de liquide relié à une extrémité à un réservoir de gaz et à l’autre extrémité à l’atmosphère. Le tube en forme de U contient du mercure dont la masse volumique est de 13 595 kilogrammes par mètre cube. Selon la verticale, le sommet de la colonne de mercure en contact avec l’atmosphère est au-dessus du sommet de la colonne de mercure en contact avec le réservoir de gaz. La distance verticale entre les sommets des colonnes ℎ est égale à 45,0 centimètres. Trouvez la pression du gaz dans le réservoir. Prenez une valeur de 101,3 kilopascals pour la pression atmosphérique.

Sur notre schéma, nous voyons le manomètre à colonne de liquide avec une extrémité ouverte à l’atmosphère et l’autre extrémité connectée à ce réservoir de gaz. Le manomètre est rempli de mercure ; c’est ce fluide gris. Le mercure que nous voyons est plus élevé du côté gauche du manomètre que du côté droit. La différence de hauteur entre ces colonnes de mercure est donnée comme étant de 45,0 centimètres.

Le fait que cette différence de hauteur n’est pas nulle signifie que la pression ici en haut de la colonne de mercure à gauche n’est pas la même que la pression ici en haut de la colonne de mercure à droite. Cependant, il est vrai que la pression le long de cette ligne horizontale pointillée en tout point du manomètre est la même. Si nous considérons un point sur le côté droit du manomètre à cette altitude, la pression agissant vers le bas à ce point, quel qu’il soit, est due au gaz dans le réservoir.

De l’autre côté de notre manomètre, à la même altitude, nous avons la même pression totale vers le bas. Et cette pression totale est due à la pression de l’atmosphère - nous l’appellerons 𝑃 indice atm - ajoutée à la pression créée par cette colonne de mercure de hauteur ℎ. Le symbole atomique pour le mercure est Hg. Donc, nous appellerons la pression créée à partir de cette hauteur de la colonne de mercure 𝑃 indice Hg.

Pour voir comment toutes ces pressions s’équilibrent, commençons par libérer de l’espace à l’écran. Compte tenu de la pression vers le bas agissant ici sur le côté gauche de notre manomètre, nous savons que cette pression est due à la somme de la pression atmosphérique et de la pression créée par notre colonne de mercure de hauteur ℎ. Nous avons dit que cette pression vers le bas est égale à la pression vers le bas à la même altitude du côté droit. Cette pression vers le bas est due au gaz dans le réservoir. Donc, nous l’appellerons 𝑃 indice gaz. 𝑃 indice atm plus P indice Hg est égal à 𝑃 indice gaz.

Notre but ici est de calculer la pression du gaz. Et dans l’énoncé du problème, on nous donne la pression de l’atmosphère. Cependant, nous ne connaissons pas encore la pression due à la colonne de mercure.

Pour nous aider à résoudre cette pression, nous pouvons cependant rappeler l’expression mathématique suivante. La pression créée par un fluide de masse volumique 𝜌 disposé dans une colonne de hauteur ℎ est égale à cette masse volumique multipliée par l’accélération due à la gravité 𝑔 fois ℎ. Cela signifie que la pression créée par la colonne de mercure de hauteur ℎ est égale à la masse volumique du mercure 𝜌 indice Hg fois 𝑔, l’accélération due à la gravité, fois ℎ. Dans l’énoncé du problème, on nous a dit que la masse volumique du mercure est de 13 595 kilogrammes par mètre cube. En plus de cela, nous connaissons la hauteur ℎ. Et nous pouvons rappeler que l’accélération due à la gravité est de 9,8 mètres par seconde au carré.

Alors, la pression du gaz est égale à la pression de l’atmosphère plus la pression de la colonne de mercure. Et la pression due à la colonne de mercure est égale à la masse volumique du mercure fois 𝑔 fois la hauteur de cette colonne ℎ. Substituer toutes ces valeurs connues nous donne cette expression. Avant de calculer la pression du gaz, nous devons nous assurer que les unités dans les deux termes de cette expression sont en accord. Pour que ce soit le cas, il y a deux modifications à apporter.

Tout d’abord, nous devons convertir notre pression atmosphérique de kilopascals en pascals. Un kilopascal équivaut à 1000 pascals. Donc, si nous multiplions 101,3 kilopascals par 1 000, nous obtenons 101 300 pascals. Dans le prochain terme de notre expression, la seule modification que nous voulons faire est de convertir les unités de cette valeur, 45,0 centimètres, en mètres. 100 centimètres font un mètre. Donc, pour convertir en mètres, nous allons diviser 45,0 centimètres par 100. Cela nous donne 0,45 mètre.

Notez alors que dans ce deuxième terme, nous avons des mètres fois des mètres divisés par des mètres cubes. Cela signifie que deux facteurs de mètres s’annulent au numérateur et au dénominateur. Nous nous retrouvons avec les unités globales pour ce terme étant des kilogrammes par mètre seconde au carré. Un kilogramme par mètre seconde au carré est égal à un newton par mètre carré, ce qui équivaut à des pascals.

Par conséquent, les unités du premier terme de cette expression et les unités du deuxième terme sont en accord. Lorsque nous calculons 𝑃 indice gaz, nous obtenons une réponse en pascals. En tapant cette expression sur notre calculatrice, nous obtenons un résultat d’environ 161 253 pascals.

Puisque certaines des informations qui nous sont données dans notre énoncé du problème, en particulier la hauteur ℎ de 45,0 centimètres, n’avaient que trois chiffres significatifs de précision, nous voudrons également exprimer notre réponse finale à seulement trois chiffres significatifs. Dans ce cas, notre réponse devient 161 000 pascals.

Et enfin, nous pouvons utiliser cette conversion selon laquelle un kilopascal équivaut à 1 000 pascals pour exprimer notre réponse finale en kilopascals. Ainsi, nous donnons notre réponse dans les mêmes unités que celles dans lesquelles notre pression atmosphérique a été donnée à l’origine. La pression du gaz dans le réservoir est de 161 kilopascals.

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