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Vidéo de question : Primitives de polynômes à l’aide de la règle d’intégration des puissances Mathématiques

Déterminez ∫ (10𝑥² + 21𝑥 - 49) d𝑥.

03:06

Transcription de vidéo

Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction 10𝑥 au carré plus 21𝑥 moins 49 par rapport à 𝑥.

Nous commençons par rappeler que la primitive de la somme de deux fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à la somme des primitives de ces deux fonctions par rapport à 𝑥. Nous pouvons utiliser ceci pour séparer la primitive de notre question en la primitive de 10𝑥 au carré par rapport à 𝑥 plus la primitive de 21𝑥 par rapport à 𝑥 plus la primitive de moins 49, encore une fois, par rapport à 𝑥.

Maintenant, nous pouvons utiliser le fait que pour toute constante 𝑘 la primitive par rapport à 𝑥 de 𝑘 multipliée par une fonction est égale à 𝑘 multipliée par la primitive de cette fonction par rapport à 𝑥. Nous pouvons utiliser ceci pour sortir le coefficient constant de chacune de nos trois primitives. Nous sommes maintenant prêts à commencer à évaluer ces primitives. Nous allons utiliser la règle d’intégration des puissances qui dit que la primitive de 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus notre constante d’intégration.

Dans notre première primitive, nous pouvons voir que nous intégrons 𝑥 au carré. Donc, nous avons que 𝑛 est égal à deux. Ainsi, en utilisant la règle d’intégration des puissances, nous avons que la primitive de 𝑥 au carré est égale à 𝑥 à la puissance deux plus un le tout divisé par deux plus un plus notre constante d’intégration 𝑐 un. Dans notre deuxième primitive, nous savons que 𝑥 peut-être réécrit comme 𝑥 à la puissance un. Ainsi, nous pouvons utiliser notre règle d’intégration des puissances avec 𝑛 égal à un.

Par conséquent, la primitive de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance un plus un divisé par un plus un. Et puis, nous ajoutons notre constante d’intégration 𝑐 deux. Enfin, dans notre troisième primitive, nous savons que 𝑥 à la puissance zéro est égal à un. Ainsi, nous pouvons utiliser notre règle d’intégration des puissances pour évaluer cette primitive avec 𝑛 égal à zéro. Cela nous donne que la primitive de un par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance zéro plus un divisé par zéro plus un plus notre constante d’intégration 𝑐 trois.

Nous pouvons développer, simplifier et réorganiser cette expression pour obtenir 10𝑥 au cube sur trois plus 21𝑥 au carré sur deux moins 49𝑥 plus 10 multiplié par 𝑐 un plus 21 multiplié par 𝑐 deux moins 49 multiplié par 𝑐 trois. Puisque 𝑐 un, 𝑐 deux et 𝑐 trois sont toutes des constantes d’intégration, nous remarquons que 10𝑐 un plus 21𝑐 deux moins 49𝑐 trois est également une constante. Ainsi, nous pouvons remplacer cette partie de l’expression par une nouvelle constante que nous appellerons 𝐶. Ce qui nous donne notre réponse finale à savoir que l’expression générale d’une primitive de 10𝑥 au carré plus 21𝑥 moins 49 par rapport à 𝑥 est égale à 10𝑥 au cube sur trois plus 21𝑥 au carré sur deux moins 49𝑥 plus une constante d’intégration.

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