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Vidéo de la leçon : Équation d’une droite dans l’espace: équations cartésienne et vectorielle Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver les formes cartésiennes et vectorielles de l’équation d’une droite dans l’espace.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous verrons comment trouver l’équation d’une droite dans l’espace. Cela signifie donc que nous avons des coordonnées en trois dimensions plutôt que simplement en deux dimensions. Nous verrons comment nous pouvons écrire cette équation sous forme cartésienne, parfois appelée forme générale. Et nous verrons également comment nous pouvons l’écrire sous forme vectorielle. Commençons par examiner la forme vectorielle.

La forme vectorielle d’une droite peut être décrite comme 𝐫 égal 𝐫 indice zéro plus 𝑡𝐯, où 𝐫, 𝐫 indice zéro et 𝐯 sont tous des vecteurs. 𝐫 est le vecteur position d’un point quelconque de la droite. 𝐫 indice zéro est le vecteur position d’un point donné de la droite. 𝐯 est un vecteur directeur de la droite. Et 𝑡 est un scalaire. La forme vectorielle peut être utilisée à la fois en deux dimensions et en trois dimensions. La différence est qu’en trois dimensions, tous nos vecteurs auront des composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Lorsque nous décrivons une droite sous forme vectorielle, rappelez-vous que cela correspond à la façon de se déplacer de l’origine à un point particulier Et ensuite nous nous déplaçons le long de cette droite selon un multiple scalaire du vecteur 𝐯.

Nous allons maintenant voir une question où nous devons écrire l’équation vectorielle d’une droite donnée par un point de la droite et un vecteur directeur.

Donnez l’équation vectorielle de la droite passant par le point trois, sept, moins sept avec un vecteur directeur zéro, moins cinq, sept.

Nous devons nous rappeler que lorsque nous devons écrire une équation sous forme vectorielle, cela sera sous la forme 𝐫 égal 𝐫 indice zéro plus 𝑡𝐯, où 𝐫 est le vecteur position d’un point quelconque de la droite, 𝐫 indice zéro est le vecteur position d’un point donné de la droite, et 𝐯 est un vecteur directeur. 𝑡 est un scalaire. Si nous regardons les informations qui nous sont données dans la question, nous pouvons voir que nous avons un vecteur directeur. Et nous avons un point sur la droite qui peut être écrit comme un vecteur position. Lorsque nous allons de l’origine au point trois, sept, moins sept, nous pouvons écrire cela comme le vecteur position trois, sept, moins sept.

Nous pouvons alors simplement mettre ces deux vecteurs dans la forme vectorielle. 𝐫 est égal au vecteur position trois, sept, moins sept plus 𝑡 fois le vecteur directeur zéro, moins cinq, sept. Et voilà donc la réponse pour l’équation vectorielle de la droite.

Dans la question suivante, nous verrons comment calculer un vecteur directeur à partir de deux points.

Trouvez le vecteur directeur de la droite passant par 𝐴 un, moins deux, sept et 𝐵 quatre, moins un, trois.

Dans cette question, on nous donne les vecteurs position de deux points dans l’espace, 𝐴 et 𝐵, et on nous demande de trouver le vecteur directeur correspondant. Lorsque nous voulons trouver un vecteur directeur 𝐀𝐁, 𝐴 est le point de départ et 𝐵 est le point d’arrivée, nous soustrayons le point de départ du point d’arrivée. Afin de trouver le vecteur directeur, nous pouvons soustraire chacune des composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de 𝐴 de celles de 𝐵. Pour commencer, nous avons quatre moins un, ce qui nous donne trois. Ensuite, nous avons moins un moins moins deux, ce qui équivaut à moins un plus deux, c’est-à-dire un. Et enfin, nous avons trois moins sept, ce qui nous donne moins quatre. Et donc nous avons la réponse pour le vecteur directeur de 𝐝, trois, un, moins quatre.

Dans cette question, cependant, nous n’avions pas nécessairement besoin de trouver le vecteur directeur 𝐀𝐁. Nous aurions également pu trouver le vecteur directeur 𝐁𝐀. Dans ce cas, nous aurions eu le vecteur opposé de 𝐝 égal à moins trois, moins un, quatre, ce qui aurait également été une réponse valide.

Dans la question suivante, nous verrons un exemple un peu plus complexe où nous devons trouver l’équation vectorielle d’une médiane d’un triangle tracé dans un espace tridimensionnel.

Les points 𝐴 moins huit, moins neuf, moins deux ; 𝐵 zéro, moins sept, six ; et 𝐶 moins huit, moins un, moins quatre forment un triangle. Déterminez sous forme vectorielle l’équation de la médiane issue de 𝐶.

Dans cette question, nous avons trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶, qui sont donnés dans un espace tridimensionnel. D’après l’énoncé, ces trois points forment un triangle. On nous dit qu’il y a une médiane issue de 𝐶, et il serait donc utile de rappeler qu’une médiane est un segment de droite joignant un sommet au milieu du côté opposé. Par exemple, si nous tracions ce triangle bidimensionnel 𝐴𝐵𝐶, la médiane issue de 𝐶 ressemblerait à ceci.

Peut-être que la meilleure façon de commencer cette question est de voir si nous pouvons trouver le point correspondant au milieu de 𝐴𝐵. Notons 𝑀 ce point. La formule pour trouver le milieu de deux points dans l’espace est très similaire à celle que nous utilisons pour deux coordonnées dans un espace bidimensionnel. Les coordonnées du point 𝑀, milieu de 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux, sont 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux, 𝑧 un plus 𝑧 deux sur deux. Lorsque nous remplaçons nos valeurs dans cette formule, nous devons nous assurer que nous utilisons les valeurs de 𝐴 et 𝐵 car, après tout, nous devons trouver le milieu de 𝐴𝐵.

Notez que lorsque nous plaçons nos valeurs, le point que nous utilisons avec comme valeurs 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un ou comme valeurs 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux n’a pas d’importance. Nous avons donc que le milieu 𝑀 est égal à moins huit plus zéro sur deux, moins neuf plus moins sept sur deux et moins deux plus six sur deux. En simplifiant, on obtient ; 𝑀 est égal à moins quatre, moins huit, deux. Nous pouvons maintenant faire de la place pour commencer à chercher la forme vectorielle de l’équation de cette médiane. La forme vectorielle d’une équation peut être écrite sous la forme 𝐫 est égal à 𝐫 indice zéro plus 𝑡𝐯, où 𝐫 est le vecteur position d’un point quelconque de la droite, 𝐫 indice zéro est le vecteur position d’un point donné de la droite, et 𝐯 est un vecteur directeur. 𝑡 est un scalaire.

Voyons ce qui se passerait si nous placions ces trois points dans un espace tridimensionnel. Nous aurions le triangle 𝐴𝐵𝐶 et la médiane, qui serait le segment de droite 𝐶𝑀. Ainsi, pour écrire la médiane sous forme de vecteur, le vecteur position peut être le point 𝐶. Mais nous devons encore déterminer le vecteur directeur 𝐂𝐌. Pour trouver le vecteur 𝐂𝐌, on soustrait le point de départ 𝐶 au point d’arrivée 𝑀. Nous avons donc moins quatre moins moins huit, moins huit moins moins un et deux moins moins quatre. En simplifiant, nous avons que le vecteur 𝐂𝐌 est égal à quatre, moins sept, six.

Maintenant, nous avons toutes les informations dont nous avons besoin pour trouver la forme vectorielle de la droite. 𝐫 indice zéro sera le vecteur position représentant le point 𝐶. Le vecteur 𝐯 sera représenté par le vecteur 𝐂𝐌. Par conséquent, la réponse pour l’équation de la médiane issue de 𝐶 est 𝐫 est égal à moins huit, moins un, moins quatre plus 𝑡 quatre, moins sept, six.

Jusqu’à présent, dans cette vidéo, nous avons examiné les équations de droites sous forme vectorielle. Maintenant, nous allons voir comment passer de la forme vectorielle à la forme cartésienne. Pour clarifier la terminologie de la forme cartésienne, une droite à deux dimensions sous forme cartésienne peut être écrite sous la forme 𝑦 égal 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est la pente ou coefficient directeur et 𝑏 est l’ordonnée à l’origine. Mais bien sûr, c’est différent dans un espace tridimensionnel car nous avons besoin d’une équation qui décrit les variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Donc, pour trouver l’équation d’une droite sous forme cartésienne, on peut dire que, étant donné l’équation d’une droite avec un vecteur directeur 𝐯 égal à 𝑙, 𝑚, 𝑛 qui passe par le point 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un, alors cette droite est donnée par 𝑥 moins 𝑥 indice un sur 𝑙 égal 𝑦 moins 𝑦 indice un sur 𝑚 égal 𝑧 moins 𝑧 indice un sur 𝑛, où 𝑙, 𝑚 et 𝑛 sont des nombres réels non nuls. Nous voyons donc comment une équation nous donnant un point et une direction, c’est-à-dire l’équation sous forme vectorielle, peut être changée en une équation sous forme cartésienne. Nous allons maintenant examiner deux questions où nous pourrions appliquer cette formule.

Donner l’équation cartésienne de la droite 𝐫 égal moins trois, moins deux, moins deux plus 𝑡 quatre, deux, quatre.

Dans cette question, on nous donne cette équation sous forme vectorielle. Moins trois, moins deux, moins deux est le vecteur position d’un point donné, et quatre, deux, quatre est un vecteur directeur de la droite. Pour passer d’une équation sous forme vectorielle à une équation sous forme cartésienne, il existe une formule que nous pouvons appliquer. L’équation d’une droite avec un vecteur directeur 𝐯 égal à 𝑙, 𝑚, 𝑛 qui passe par 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un est donnée par 𝑥 moins 𝑥 un sur 𝑙 égal 𝑦 moins 𝑦 un sur 𝑚 égal 𝑧 moins 𝑧 indice un sur 𝑛, où 𝑙, 𝑚 et 𝑛 sont des nombres réels non nuls.

Nous devons maintenant utiliser le vecteur directeur quatre, deux, quatre pour avoir les valeurs de 𝑙, 𝑚 et 𝑛, respectivement. Nous pouvons faire la même chose et remplacer la coordonnée 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un avec les valeurs moins trois, moins deux, moins deux. En injectant ces valeurs dans la formule, nous avons 𝑥 moins moins trois sur quatre égal 𝑦 moins moins deux sur deux égal 𝑧 moins deux sur quatre. En simplifiant les numérateurs, nous obtenons 𝑥 plus trois sur quatre égal 𝑦 plus deux sur deux égal 𝑧 plus deux sur quatre. Et c’est la réponse pour l’équation cartésienne de la droite donnée.

Voyons une dernière question.

Trouvez la forme cartésienne de l’équation de la droite passant par les points moins sept, moins trois, moins sept et moins trois, moins 10, moins quatre.

Dans cette question, bien qu’on nous demande la forme cartésienne de l’équation, il pourrait être utile de chercher la forme vectorielle de cette droite. Si nous notons nos deux points 𝐴 et 𝐵 et nous voulions trouver le vecteur directeur 𝐀𝐁, alors on soustrait toutes les composantes du point de départ 𝐴 à celles de 𝐵. Donc, nous aurions 𝐀𝐁 est égal à moins trois moins moins sept, ce qui est égal à moins trois plus sept, ce qui nous donne quatre. Moins 10 moins moins trois est équivalent à moins 10 plus trois, ce qui est égal à moins sept. Et puis nous aurions moins quatre soustraire moins sept, ce qui nous donne trois.

Maintenant que nous avons un vecteur directeur et un point de la droite, nous pouvons trouver la forme cartésienne de l’équation de la droite reliant ces deux points. Nous devons nous rappeler que l’équation d’une droite avec un vecteur directeur 𝐯 égal à 𝑙, 𝑚, 𝑛 et qui passe par le point 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un est donnée par 𝑥 moins 𝑥 indice un sur 𝑙, égal 𝑦 moins 𝑦 indice un sur 𝑚, égal 𝑧 moins 𝑧 indice un sur 𝑛. Notez que 𝑙, 𝑚 et 𝑛 sont des nombres réels non nuls.

Nous pouvons maintenant utiliser le vecteur directeur de 𝐀𝐁 pour les valeurs de 𝑙, 𝑚 et 𝑛 et le point moins sept, moins trois, moins sept pour les valeurs 𝑥 indice un, 𝑦 indice un et 𝑧 indice un. En remplaçant ces valeurs dans la formule, nous avons 𝑥 moins moins sept sur quatre égal à 𝑦 moins moins trois sur moins sept égal à 𝑧 moins moins sept sur trois. Simplifier les numérateurs nous donne la réponse sous forme cartésienne 𝑥 plus sept sur quatre, égal 𝑦 plus trois sur moins sept, égal 𝑧 plus sept sur trois.

Nous pouvons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Tout d’abord, nous avons vu l’équation d’une droite donnée sous forme vectorielle comme 𝐫 égal 𝐫 indice zéro plus 𝑡𝐯. 𝐫 est le vecteur position d’un point quelconque de la droite, 𝐫 indice zéro est le vecteur position d’un point donné de la droite, et 𝐯 est un vecteur directeur de la droite. 𝑡 est un scalaire. Pour trouver un vecteur directeur 𝐀𝐁, on soustrait les coordonnées du point de départ 𝐴 des coordonnées du point d’arrivée 𝐵.

Enfin, nous avons vu que l’équation d’une droite avec un vecteur directeur 𝐯 égal à 𝑙, 𝑚, 𝑛 qui passe par 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un est donnée par 𝑥 moins 𝑥 un sur 𝑙, égal 𝑦 moins 𝑦 un sur 𝑚 égal, 𝑧 moins 𝑧 sous un sur 𝑛, où 𝑙, 𝑚 et 𝑛 sont des nombres réels non nuls. Cette formule finale est très utile pour passer de la forme vectorielle de l’équation d’une droite à sa forme cartésienne.

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