Transcription de la vidéo
Nous avons quatre cartes numérotées trois, quatre, cinq et six. Combien de nombres uniques pouvons-nous former en utilisant au moins une de ces cartes ?
Si vous lisez attentivement la question, on nous demande combien de nombres uniques nous pouvons former en utilisant au moins une des quatre cartes. En d'autres termes, il est possible d'utiliser une seule carte pour former un chiffre unique, deux cartes pour former un nombre à deux chiffres. Nous pouvons utiliser trois cartes pour former un nombre à trois chiffres. Aussi, nous pouvons utiliser les quatre cartes pour former un nombre à quatre chiffres. Il nous faut considérer chacune de ces possibilités séparément.
Si nous utilisons une seule carte, nous voyons assez logiquement qu'il y a quatre possibilités. Nous pouvons utiliser chacune des cartes, soit trois, quatre, cinq et six. Ainsi, il y a quatre nombres uniques qui peuvent être formés si nous utilisons une seule des cartes. Si nous utilisons deux cartes, nous devrons être un peu plus prudents. Commençons par examiner le nombre d'options possibles pour chaque chiffre du nombre à deux chiffres.
Pour le premier chiffre, il y a quatre possibilités, soit trois, quatre, cinq ou six. Mais pour le deuxième chiffre, nous avons déjà posé une des cartes pour former le premier chiffre. Il reste donc seulement trois possibilités. Chacun des premiers chiffres peut être combiné avec n'importe quel deuxième chiffre. Nous avons donc quatre fois trois, ce qui fait 12 nombres à deux chiffres possibles.
Il faut noter que l'ordre est important ici. Le nombre 56 est différent du nombre 65, nous comptons donc deux fois cette paire de cartes dans ses deux ordres possibles. En fait, il s'agit d’arrangements lorsque nous calculons le nombre de façons uniques dont nous pouvons choisir deux cartes parmi quatre et que l'ordre est important. Cela peut être écrit en utilisant la notation quatre 𝑃 deux. De manière générale, on entend par la notation 𝑛𝑃𝑟 le nombre d’arrangements distincts de 𝑟 objets parmi 𝑛 objets distincts. Nous le calculons à l'aide de la formule factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑟.
Il se peut également que les factorielles soient indiquées par un point d'exclamation. En revenant au nombre de possibilités lorsqu'on utilise deux cartes, nous aurions pu résoudre le problème en évaluant quatre 𝑃 deux, soit factorielle quatre sur factorielle quatre moins deux. Le dénominateur devient factorielle deux. Factorielle de quatre est quatre fois trois fois deux fois un, ce qui donne 24, et factorielle de deux est deux fois un, ce qui donne deux. Nous avons donc 24 sur deux, ce qui est effectivement égal à 12.
Quand nous arrivons au nombre de nombres distincts que nous pouvons former en utilisant trois cartes, alors, nous pouvons passer directement à l'utilisation d'un arrangement. Le nombre de façons dont nous pouvons choisir trois cartes parmi quatre lorsque l'ordre est important est quatre 𝑃 trois, ce qui correspond à factorielle quatre sur factorielle quatre moins trois ou bien factorielle un. Factorielle un est égale à un et factorielle quatre, comme nous l'avons déjà vu, est égal à 24. Ainsi, nous avons 24 sur un, ce qui donne 24.
Nous pouvons confirmer cela en considérant le nombre d'options pour chaque carte. Il y a quatre options pour la première carte, puis trois pour la deuxième car nous venons d'en utiliser une et, enfin, deux pour la troisième car nous en avons déjà utilisé deux. Ainsi, le nombre total de dispositions possibles de trois cartes à partir de quatre est de quatre fois trois fois deux, soit 12 fois deux, ce qui fait effectivement 24.
Enfin, le nombre de nombres uniques que nous pouvons former en utilisant les quatre cartes est quatre 𝑃 quatre, soit factorielle quatre sur factorielle quatre moins quatre ou factorielle zéro. Il faut rappeler à ce stade que factorielle zéro est définie comme étant égale à un. Par conséquent, nous avons 24 sur un, ce qui est égal à 24. En tenant compte à nouveau du nombre d'options pour chaque carte, nous obtenons quatre fois trois fois deux fois un, soit 24.
Ainsi, nous avons calculé le nombre de nombres uniques qui peuvent être formés en utilisant une carte, deux cartes, trois cartes et enfin les quatre cartes. Pour obtenir le nombre total de nombres uniques pouvant être formés, il faut les additionner : quatre plus 12 plus 24 plus 24, soit 64. Le nombre de nombres uniques pouvant être formés en utilisant au moins une des quatre cartes de nombres distincts est de 64.
