Vidéo : L’essence de l’analyse

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

L’essence de l’analyse

16:11

Transcription de vidéo

Salut tout le monde, c’est Grant avec vous. Voici la première vidéo parmi une série sur l’essence de l’analyse mathématique. Et je publierai les vidéos suivantes une fois par jour pendant les 10 prochains jours. Comme son nom l’indique, l’objectif ici est de rassembler le cœur du sujet, vous proposant une série plaisante à regarder. Mais avec un sujet aussi vaste que l’analyse, beaucoup de choses peuvent avoir une signification. Alors voici ce que j’ai spécifiquement en tête.

L’analyse comporte beaucoup de règles et de formules qui sont souvent présentées comme des choses à mémoriser, beaucoup de formules de dérivées, la règle du produit, la règle de dérivation en chaîne, la dérivation implicite, le fait que les intégrales et les dérivées sont opposées, la série de Taylor et beaucoup de choses de ce genre. Et mon but est que vous ressortiez avec le sentiment que vous auriez pu vous-même inventer l’analyse. C’est-à-dire qu’il faut couvrir toutes ces idées fondamentales, mais d’une manière qui indique clairement d’où elles viennent réellement et ce qu’elles signifient vraiment, en utilisant une approche visuelle globale.

Inventer les mathématiques n’est pas une blague. Et il y a une différence entre se faire dire pourquoi quelque chose est vraie et la générer à partir de zéro. Mais en tout point, je veux que vous vous demandiez. Si vous étiez l’un des premiers mathématiciens à réfléchir à ces idées et à tracer les bons diagrammes, est-ce possible que vous auriez pu tomber par vous-même sur ces vérités ?

Dans cette première vidéo, je voudrais montrer comment vous pourriez tomber sur les idées fondamentales de l’analyse en réfléchissant très profondément à un élément spécifique de la géométrie, l’aire d’un cercle. Peut-être savez-vous qu’elle égale 𝜋 fois son rayon au carré, mais pourquoi ? Existe-t-il une bonne façon de penser à l’origine de cette formule ? Eh bien, en contemplant ce problème, et en vous vous exposant aux idées intéressantes qui en découlent, vous pourrez en fait avoir un aperçu de trois idées importantes de l’analyse : les intégrales, les dérivées, et le fait qu’elles sont opposées.

Mais l’histoire commence plus simplement, juste vous et un cercle, disons avec un rayon de trois. Vous essayez de déterminer son aire. Et après avoir parcouru beaucoup de papiers en essayant différentes façons de découper et de réorganiser les éléments de cette aire, dont beaucoup pourraient conduire à leurs propres observations intéressantes, vous pouvez peut-être essayer de diviser le cercle en plusieurs couronnes concentriques. Ceci devrait sembler prometteur car on y respecte la symétrie du cercle. Et les mathématiques ont tendance à vous récompenser lorsque vous respectez leurs symétries.

Prenons l’une de ces couronnes qui a un rayon intérieur, 𝑟, compris entre zéro et trois. Si nous pouvons trouver une expression convenable pour l’aire de chaque couronne comme celle-ci, et si nous avons une bonne façon de les additionner toutes ensemble, alors cela pourrait nous amener à déterminer l’aire du cercle complet. Vous pouvez peut-être commencer par imaginer redresser cette couronne. Et vous pouvez essayer de définir exactement quelle est cette nouvelle forme et quelle doit être son aire. Mais pour des raisons de simplicité, approchons-la simplement d’un rectangle. La largeur de ce rectangle correspond à la circonférence de la couronne initiale, soit deux 𝜋 fois 𝑟, n’est-ce pas ? Je veux dire, c’est essentiellement la définition de 𝜋. Et son épaisseur ? Cela dépend de la finesse avec laquelle vous avez découpé le cercle, ce qui était plutôt arbitraire.

Dans l’esprit d’utiliser ce qui deviendra une notation d’analyse standard, appelons cette épaisseur d𝑟, pour une infime différence de rayon d’une couronne à l’autre. Vous y pensez peut-être comme 0.1. Ainsi, en rapprochant cette couronne non déroulée d’un rectangle fin, son aire est égale à deux 𝜋 fois 𝑟, le rayon, fois d𝑟, la petite épaisseur. Et même si ce n’est pas parfait, pour des choix de plus en plus petits de d𝑟, cela va en fait être une meilleure approximation pour cette aire puisque les côtés supérieur et inférieur de cette figure vont s’approcher de plus en plus d’avoir exactement la même longueur.

Avançons donc avec cette approximation en gardant en tête que c’est un peu faux. Mais cela deviendra plus précis pour les choix de plus en plus petits de d𝑟, c’est-à-dire si nous découpons le cercle en couronnes de plus en plus fines. Donc, pour résumer où nous en sommes, vous avez divisé l’aire du cercle en toutes ces couronnes. Et vous approximez la surface de chacune d’elles comme deux 𝜋 fois son rayon fois d𝑟, où la valeur spécifique pour ce rayon intérieur va de zéro pour la plus petite couronne à un peu moins de trois pour la plus grande, espacées de quelle que soit l’épaisseur que vous choisissez pour d𝑟, soit quelque chose comme 0.1.

Et notez que l’espacement entre les valeurs correspond ici à l’épaisseur d𝑟 de chaque couronne, la différence du rayon d’une couronne à l’autre. En fait, une bonne façon de penser aux rectangles qui se rapprochent de l’aire de chaque couronne est de les placer tous côte à côte, le long de cet axe. Chacun a une épaisseur d𝑟, raison pour laquelle ils s’emboîtent si bien ensemble. Et la hauteur d’un rectangle quelconque de ces rectangles situés au-dessus d’une valeur spécifique de 𝑟, telle que 0.6, correspond exactement à deux 𝜋 fois cette valeur. C’est la circonférence de la couronne correspondante de laquelle se rapproche ce rectangle.

Représenté ainsi, deux 𝜋𝑟 peut être un peu grand pour l’écran. Je veux dire, deux fois 𝜋 fois trois est environ 19. Donc, traçons un axe 𝑦 dont l’échelle est légèrement différente afin que nous puissions réellement afficher tous ces rectangles à l’écran. Une bonne façon de penser à cette configuration est de tracer la droite représentative de deux 𝜋𝑟, qui est une droite ayant comme coefficient directeur deux 𝜋. Chacun de ces rectangles s’étend jusqu’au point où il touche à peine cette droite. Encore une fois, nous faisons juste une approximation ici. Chacun de ces rectangles n’est qu’une approximation de l’aire de la couronne correspondante du cercle. Mais rappelez-vous que cette approximation, deux 𝜋𝑟 fois d𝑟, devient de moins en moins fausse lorsque la taille de d𝑟 devient de plus en plus petite.

Et cela a une très belle signification quand on regarde la somme des aires de tous ces rectangles. Pour des choix de plus en plus petits de d𝑟, vous penserez d’abord que cela transforme le problème en une somme monstrueusement grande. Je veux dire, il y a beaucoup, beaucoup de rectangles à envisager. Et la précision décimale de chacune de leurs aires va être un vrai cauchemar ! Mais remarquez, l’ensemble de leurs aires totales est l’aire située sous la droite. Et cette partie sous la droite n’est qu’un triangle. Un triangle avec une base de trois et une hauteur de deux 𝜋 fois trois. Donc, son aire, un-demi la base fois la hauteur, correspond exactement à 𝜋 fois trois au carré. Ou, si le rayon de notre cercle d’origine était d’une autre valeur, 𝑅 majuscule, cette aire serait 𝜋 fois 𝑅 au carré. Et c’est la formule pour l’aire d’un cercle.

Peu importe qui vous êtes ou ce que vous pensez des mathématiques. Ce que nous avons ici est un bel argument. Mais si vous voulez penser comme un mathématicien, vous ne vous intéressez pas seulement à trouver la réponse. Vous vous intéressez à développer de généraux outils de résolution de problèmes et techniques. Alors prenez un moment pour réfléchir à ce qui vient de se passer et pourquoi cela a marché. Parce que la façon dont nous passons de quelque chose d’approximative à quelque chose de précise est en fait assez subtile. Et cela s’enfonce profondément dans la notion d’analyse.

Vous aviez ce problème qui peut être approximé à la somme de nombreux petits nombres, chacun d’eux étant deux 𝜋𝑟 fois d𝑟 pour des valeurs de 𝑟 comprises entre zéro et trois. Rappelez-vous, le petit nombre d𝑟 ici représente notre choix pour l’épaisseur de chaque couronne, par exemple 0.1. Et il y a deux choses importantes à noter ici. Tout d’abord, non seulement d𝑟 est un facteur dans les quantités que nous additionnons, deux 𝜋𝑟 fois d𝑟, il donne également l’espace entre les différentes valeurs de 𝑟. Et deuxièmement, plus notre choix pour d𝑟 est petit, meilleure est l’approximation.

L’addition de tous ces nombres peut être envisagée d’une manière assez intelligente en additionnant les aires de plusieurs rectangles fins situés sous une droite, la droite représentative de la fonction deux 𝜋𝑟 dans ce cas. Ensuite, et cela est essentiel, en considérant des choix de plus en plus petits pour d𝑟 correspondant à de meilleures approximations du problème initial, cette somme, qui est l’aire totale de ces rectangles, se rapproche de l’aire sous la droite. Et à cause de cela, vous pouvez en conclure que la réponse à la question initiale avec une précision non approximative complète est exactement la même que l’aire située sous cette droite.

Beaucoup d’autres problèmes difficiles en mathématiques et en sciences peuvent être décomposés et assimilés comme la somme de nombreuses petites quantités, des questions telles que déterminer la distance parcourue par une voiture en fonction de sa vitesse à chaque instant. Dans un cas comme celui-là, vous pouvez aller à différents points dans le temps. Et à chaque fois, multipliez la vitesse à cet instant par un changement minime dans le temps, d𝑡, ce qui donnerait le peu de distance parcourue pendant ce peu de temps. Je parlerai plus en détail des exemples comme celui-ci plus tard dans la série. Mais à un niveau élevé, beaucoup de ces types de problèmes sont équivalents à trouver l’aire sous un graphe, de la même manière que notre problème de cercle.

Cela se produit chaque fois que les quantités que vous additionnez, celles dont la somme se rapproche du problème initial, peuvent être considérées comme les aires de nombreux rectangles fins situés côte à côte comme ça. Si des approximations de plus en plus proches du problème initial correspondent à des couronnes de plus en plus fines, le problème initial consisterait à trouver l’aire sous un graphe. Encore une fois, c’est une idée que nous verrons plus en détail plus tard dans la série. Alors ne vous inquiétez pas si ce n’est pas clair à 100% pour le moment.

Le fait ici est que, en tant que mathématicien venant juste de résoudre un problème en le reformulant comme étant l’aire située sous un graphe, vous pouvez commencer à penser à déterminer les aires sous d’autres graphes. Je veux dire, nous avons eu de la chance dans le problème du cercle où l’aire en question était un triangle. Mais imaginons plutôt une sorte de parabole, la courbe représentative de 𝑥 au carré. Quelle est la surface sous cette courbe, disons entre les valeurs de 𝑥 égale à zéro et 𝑥 égale à trois ? Eh bien, il est difficile d’y penser, non ? Laissez-moi reformuler cette question d’une manière légèrement différente. Nous allons fixer ce point d’extrémité gauche à zéro et laisser le point d’extrémité droite varier. Pouvez-vous trouver une fonction, 𝐴 de 𝑥, qui vous donne l’aire sous cette parabole entre zéro et 𝑥 ? Une fonction 𝐴 de 𝑥 comme celle-ci s’appelle une intégrale de 𝑥 au carré.

L’analyse détient des outils nécessaires pour comprendre ce qu’est une intégrale comme celle-ci. Mais pour l’instant, c’est une fonction mystérieuse pour nous. Nous savons que cela donne l’aire sous le graphe de 𝑥 au carré entre un point gauche fixe et un point droite variable. Mais on ne sait pas ce que c’est. Et encore une fois, la raison pour laquelle nous nous intéressons à ce genre de questions n’est pas simplement pour poser des questions difficiles sur la géométrie. C’est parce que de nombreux problèmes pratiques qui peuvent être approximés en additionnant un grand nombre de petites choses peuvent être reformulés sous la forme d’une question sur une aire située sous un graphique donné. Et je vais vous dire tout de suite que déterminer cette aire, cette fonction intégrale, est vraiment difficile.

Et chaque fois que vous rencontrez une question vraiment difficile en maths, une bonne politique consiste à ne pas en faire trop pour trouver la réponse immédiatement, car d’habitude on termine par se cogner la tête contre un mur. Au lieu de cela, jouez avec l’idée sans objectif particulier en tête. Passez un peu de temps à vous familiariser avec l’interaction entre la fonction définissant le graphe, dans ce cas 𝑥 au carré, et la fonction donnant l’aire. Dans cet esprit ludique, si vous êtes chanceux, voici quelque chose que vous remarquerez peut-être. Lorsque vous augmentez légèrement 𝑥 d’un petit coup de pouce, d𝑥, regardez le changement d’aire résultant, représenté par ce ruban que je vais appeler d𝐴, pour une toute petite différence d’aire. Ce ruban peut être assez bien approximé avec un rectangle, un rectangle de hauteur 𝑥 carré et de largeur d𝑥. Et plus la taille de ce coup de pouce, d𝑥, est petite, plus ce ruban ressemble à un rectangle.

Cela nous donne une manière intéressante de penser à la relation entre 𝐴 de 𝑥 et 𝑥 au carré. Un changement dans la sortie de 𝐴, ce petit d𝐴, est à peu près égal à 𝑥 au carré, où 𝑥 est l’entrée avec laquelle vous avez commencé, fois d𝑥, le petit coup de pouce à l’entrée qui a provoqué le changement de 𝐴. Ou, réarrangé, d𝐴 divisé par d𝑥, le rapport entre un petit changement de 𝐴 et le petit changement de 𝑥 qui l’a provoqué est approximativement ce que 𝑥 au carré est à ce point. Et c’est une approximation qui devrait aller de mieux en mieux pour des choix de plus en plus petits de d𝑥. En d’autres termes, nous ne savons pas ce qu’est 𝐴 de 𝑥. Cela reste un mystère. Mais nous connaissons une propriété que cette fonction mystérieuse doit avoir.

Lorsque vous examinez deux points proches, par exemple trois et 3.001, considérez le changement de la sortie de 𝐴 entre ces deux points, la différence entre la fonction mystérieuse évaluée à 3.001 et évaluée à trois. Ce changement divisé par la différence entre les valeurs d’entrée, qui dans ce cas est 0.001, devrait être à peu près égal à la valeur de 𝑥 au carré pour l’entrée de départ, dans ce cas trois au carré. Et cette relation entre les changements minimes de la fonction mystérieuse et les valeurs de 𝑥 au carré est vraie pour toutes les entrées, pas seulement pour trois. Cela ne nous dit pas immédiatement comment déterminer 𝐴 de 𝑥. Mais cela propose un très bon indice avec lequel nous pouvons travailler.

Et le graphique 𝑥 au carré n’a rien de spécial. Toute fonction définie comme l’aire sous un graphe a cette propriété que d𝐴 divisé par d𝑥, un léger coup de pouce à la sortie de 𝐴 divisé par un léger coup de pouce à l’entrée qui l’a provoqué, est environ égale à la hauteur du graphe à cet endroit. Encore une fois, c’est une approximation qui va de mieux en mieux pour des choix plus petits de d𝑥. Et ici, nous tombons sur une autre grande notion de l’analyse, les dérivées. Ce rapport, d𝐴 divisé par d𝑥, est appelé la dérivée de 𝐴. Ou plus théoriquement, la dérivée est n’importe quelle valeur de laquelle s’approche ce rapport lorsque d𝑥 devient de plus en plus petit. Je vais plonger beaucoup plus profondément dans la notion d’une dérivée dans la vidéo suivante. Mais en gros, c’est une mesure de la sensibilité d’une fonction à de petits changements dans son entrée.

Vous verrez, au fur et à mesure que la série continue, qu’il existe plusieurs façons avec laquelle vous pouvez visualiser une dérivée selon la fonction que vous envisagez, et de la manière dont vous envisagez les petits coups de pouce à sa sortie. Et nous nous intéressons aux dérivées car elles nous aident à résoudre des problèmes. Et dans notre petite exploration ici, nous avons déjà un léger aperçu de la façon dont elles sont utilisées. Elles sont la clé pour résoudre des questions intégrales, des problèmes qui nécessitent de déterminer l’aire sous une courbe. Une fois que vous maîtriserez suffisamment le calcul des dérivées, vous pourrez observer une situation comme celle-ci dans laquelle vous ne saurez pas ce qu’est une fonction. Mais vous savez que sa dérivée devrait être 𝑥 au carré. Et à partir de là, désosser ce qu’est la fonction.

Et cet aller-retour entre les intégrales et les dérivées, où la dérivée d’une fonction pour l’aire sous un graphe vous rend la fonction définissant le graphe lui-même, s’appelle le théorème fondamental de l’analyse. Il relie ensemble les deux grandes notions d’intégration et de dérivation. Et cela montre que, en un certain sens, chacune est l’inverse de l’autre.

Tout ceci n’est qu’une vue de haut niveau, un coup d’œil sur certaines des idées fondamentales qui émergent dans l’analyse. Et ce qui suit dans la série sont les détails sur la dérivation et l’intégration et plus. En tout point, je veux que vous sentiez que vous pouviez inventer vous-même l’analyse. Que si vous aviez dessiné les bonnes figures et joué avec chaque idée de la bonne façon, ces formules, règles et constructions présentées auraient tout aussi bien pu surgir naturellement de vos propres explorations.

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