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Vidéo de question : Vérifier l’existence d'une limite Mathématiques

Que peut-on dire de l’existence de lim_(𝑥 → 2) 1/|𝑥 − 2| ?

02:39

Transcription de vidéo

Que peut-on dire de l’existence de la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de un sur la valeur absolue de 𝑥 moins deux.

On nous donne dans cette question une limite et on nous demande de discuter de l'existence de cette limite. Nous pouvons rappeler que pour qu'une limite existe, il faut que les images de la fonction se rapprochent d'une valeur finie lorsque les valeurs d’entrée se rapprochent du point de chaque côté. Cela revient à dire que les limites à gauche et à droite de la fonction en ce point doivent exister et être égales.

Il existe de nombreuses façons dont nous pouvons étudier cette limite. Par exemple, nous pouvons dessiner le graphique de cette fonction en notant d'abord qu'elle peut être réécrite comme la valeur absolue de un sur 𝑥 moins deux. Nous pouvons ensuite dessiner le graphique de cette fonction en notant qu'elle est une transformation du graphique de la fonction inverse. Nous translatons le graphique de deux unités vers la droite, puis nous appliquons une symétrie par rapport à l'axe des 𝑥 pour tout morceau de courbe situé en-dessous de l’axe des 𝑥.

En appliquant ces transformations au graphique de la courbe inverse, nous obtenons le graphique suivant. Nous notons que l'asymptote verticale est translatée de deux unités vers la droite jusqu'à la droite d’équation 𝑥 est égal à deux et que l'asymptote horizontale est toujours d’équation 𝑦 est égale à zéro. Nous pouvons utiliser ce graphique pour analyser les limites à gauche et à droite de cette fonction lorsque 𝑥 tend vers deux. Tout d'abord, nous pouvons noter que lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers deux à gauche, la courbe est non bornée et s'approche de plus ∞. Nous pouvons donc dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux à gauche de un sur la valeur absolue de 𝑥 moins deux est ∞. Il est également utile de rappeler ici que dire qu'une limite est égale à ∞ signifie également qu'elle n'existe pas. Cependant, il est utile de noter que la limite est ∞.

Nous obtenons un peu la même chose si l'on examine le graphique avec des valeurs de 𝑥 tendant vers deux à droite. Nous voyons que le graphique est non borné et tend vers plus ∞, les images de la fonction s'approchent donc de plus ∞ lorsque 𝑥 tend vers deux à droite. Ainsi, encore une fois, nous pouvons dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux à droite de cette fonction n'existe pas. Cependant, nous pouvons dire que sa limite est plus ∞.

Puisque la limite à gauche et la limite à droite égalent ∞, nous pouvons dire que la limite est égale à ∞. Cependant, cela signifie que la limite n'existe pas. Ainsi, la limite n'existe pas, mais la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de un sur la valeur absolue de 𝑥 moins deux est égale à ∞.

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