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Vidéo de question : Utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle pour résoudre des problèmes de la vie courante impliquant des angles d’élévation Mathématiques

Un phare d’une hauteur de 89 mètres a été construit sur une falaise. Les angles d’élévation de son sommet et de sa base mesurent respectivement 72° et 34° depuis un bateau naviguant sur la mer. Calculez la hauteur de la falaise depuis le niveau de la mer, en donnant la réponse au mètre près.

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Transcription de vidéo

Un phare d’une hauteur de 89 mètres est construit sur une falaise. L’angle d’élévation de son sommet et l’angle de dépression de sa base mesurent respectivement 72 degrés et 34 degrés depuis un bateau naviguant sur la mer. Calculez la hauteur de la falaise depuis le niveau de la mer, en donnant la réponse au mètre près.

Commençons par dessiner un diagramme pour représenter cette situation. Nous avons un phare de 89 mètres de hauteur au sommet d’une falaise. Il y a un bateau en mer et on nous donne les angles d’élévation au sommet et à la base du phare. Un angle d’élévation est un angle mesuré à partir de l’horizontale lorsque vous regardez un objet. L’angle d’élévation du bateau au sommet du phare est de 72 degrés. L’angle d’élévation à la base du phare est de 34 degrés. On nous demande de trouver la hauteur de la falaise à partir du niveau de la mer, que nous noterons 𝑥 en mètres.

Si nous considérons maintenant ce diagramme, nous voyons que nous avons des triangles rectangles formés par l’horizontale reliant le bateau à la base de la falaise, la ligne verticale formée par la falaise et le phare, et les droites allant du bateau vers la base et le sommet du phare. Les deux triangles ont un côté en commun - l’horizontale entre la base de la falaise et le bateau.

Notre stratégie va consister à essayer d’écrire des expressions de ce côté commun en utilisant les deux triangles. Nous verrons ensuite si nous pouvons les égaliser afin de trouver la valeur de 𝑥. Nous allons donner à la longueur de ce côté commun une valeur - 𝑦 mètres – et nous considérerons d’abord le plus petit triangle. Rappelez-vous que c’est le triangle avec un angle de 34 degrés. Relativement à cet angle de 34 degrés, les côtés 𝑥 et 𝑦 sont en fait les côtés opposé et adjacent du triangle rectangle.

En nous rappelant de l’acronyme SOHCAHTOA, nous nous souvenons que le rapport entre ces deux côtés est le rapport de la tangente. La tangente est par définition égale au côté opposé divisé par le côté adjacent. Nous avons donc que tangente de 34 degrés est égal à 𝑥 sur 𝑦. La multiplication des deux membres de cette équation par 𝑦 donne que 𝑦 tangente 34 degrés est égal à 𝑥. La division des deux membres de l’équation par tangente de 34 degrés, qui est simplement un nombre, nous donne notre première expression pour 𝑦. C’est égal à 𝑥 sur tangente de 34 degrés. Nous avons donc notre première expression pour 𝑦.

Nous considérons ensuite, le plus grand triangle - celui avec l’angle de 72 degrés. Par rapport à cet angle, 𝑦 est toujours le côté adjacent. La longueur du côté opposé est cette fois-ci égale à la hauteur totale de la falaise et du phare : 𝑥 plus 89. Donc, le rapport de la tangente dans ce triangle c’est à dire opposé divisé par adjacent soit tangente de 72 degrés est égal à 𝑥 plus 89 sur 𝑦.

Nous allons maintenant réorganiser cette équation pour donner une expression pour 𝑦. La multiplication des deux membres de l’équation par 𝑦 donne que 𝑦 tan 72 degrés est égal à 𝑥 plus 89. La division des deux membres de l’équation par tangente de 72 degrés donne notre deuxième expression pour 𝑦 : 𝑦 est égal à 𝑥 plus 89 sur tangente de 72 degrés.

Rappelez-vous que le but de l’écriture de ces deux expressions pour 𝑦 était que nous puissions alors les égaliser, et obtenir ainsi une équation en fonction de 𝑥 seulement. Egaliser les deux expressions nous donne que 𝑥 sur tangente de 34 degrés est égal à 𝑥 plus 89 sur tangente de 72 degrés.

Maintenant, je vais effacer certains des travaux précédents afin d’avoir de l’espace pour résoudre cette équation. Donc, si vous devez noter l’un des résultats précédents, mettez la vidéo en pause et faites-le maintenant. Ainsi, l’équation que nous avions trouvée était 𝑥 sur tangente de 34 degrés est égal à 𝑥 plus 89 sur tangente de 72 degrés. La première étape pour résoudre cette équation consiste à éliminer les dénominateurs. Je vais donc utiliser la règle de trois. Ceci donne que 𝑥 multiplié par tangente de 72 degrés est égal à 𝑥 plus 89 multiplié par tangente de 34 degrés.

Ensuite, je vais développer la parenthèse dans le membre de droite ce qui donne 𝑥 tangente de 34 degrés plus 89 tangente de 34 degrés. Maintenant, j’ai des termes en 𝑥 dans les deux membres de l’équation et je souhaiterais les regrouper à gauche. Ma prochaine étape va donc être de soustraire 𝑥 tangente de 34 degrés des deux membres. J’ai maintenant que 𝑥 tangente 72 degrés moins 𝑥 tangente 34 degrés est égal à 89 tangente 34 degrés. Le membre de gauche de cette équation peut être factorisé par le terme commun 𝑥 figurant dans les deux termes. Ceci donne que 𝑥 multiplié par tangente 72 degrés moins tangente 34 degrés est égal à 89 tangente 34 degrés.

Pour trouver la valeur de 𝑥, il suffit de diviser les deux membres par ce qu’on a dans la parenthèse. Ceci me donne mon expression pour 𝑥. C’est égal à 89 tangente 34 degrés sur tangente 72 degrés moins tangente 34 degrés.

Maintenant, à ce stade, nous pouvons utiliser nos calculatrices pour évaluer ceci, après nous être assurés qu’elles sont en mode degré. L’évaluation avec une calculatrice devrait donner 24,97997. Si vous n’avez pas cette valeur, vérifiez d’abord que votre calculatrice est bien en mode degré et vérifiez ensuite que vous avez correctement placé les parenthèses lors de la saisie de la fraction.

En revenant à notre question, nous avons été invités à donner notre réponse au mètre près. La hauteur de la falaise à partir du niveau de la mer et au mètre près est de 25 mètres.

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