Transcription de la vidéo
Un corps au repos a commencé à se déplacer du sommet d’une rampe de longueur 312
centimètres inclinée de 60 degrés par rapport à l’horizontale. Quand il a atteint le bas de la rampe, il a continué à se déplacer sur un plan
horizontal. La résistance au mouvement du corps est constante à la fois sur la rampe et sur le
plan et est égale à la racine carrée de trois divisée par quatre fois le poids du
corps. Déterminez la distance que le corps a parcourue sur le plan horizontal jusqu’à ce
qu’il s’arrête.
Commençons par faire un schéma. Nous allons inclure le corps, la rampe et le plan horizontal en bas de la rampe. Voici notre schéma. Nous avons la rampe étiquetée avec sa longueur de 312 centimètres, pour laquelle nous
allons utiliser la lettre 𝑙. Nous avons le plan horizontal avec la distance inconnue représentée par la lettre
𝑑. Et nous avons le corps à ses positions initiale et finale. Les positions initiale et finale sont étiquetées au repos car on nous dit que le
corps est au repos à ces deux endroits. Et puis, nous avons également étiqueté l’angle de 60 degrés que la rampe fait avec le
plan horizontal.
Il y a aussi deux autres grandeurs dans l’énoncé que nous n’avons pas encore inclus
dans le schéma. Elles sont le poids ou la force de la pesanteur agissant sur le corps et la
résistance au mouvement du corps. Nous appellerons le poids du corps 𝐹 indice P. Et comme le poids est dû à l’accélération de la pesanteur, il pointe toujours vers le
bas. En revanche, la résistance au mouvement pointe toujours dans le sens opposé au
mouvement, donc vers le haut de la rampe lorsque l’objet se déplace vers le bas de
la rampe ou vers l’arrière lorsque l’objet se déplace vers l’avant. Nous appellerons l’intensité de la résistance 𝐹 indice 𝑅. Et comme indiqué dans la question, il s’agit de la racine carrée de trois divisée par
quatre fois le poids du corps.
Une fois que toutes les informations qui nous sont données sont incluses dans ce
schéma, nous avons besoin d’une stratégie pour déterminer la distance inconnue. Le fait que nous ayons reçu des informations sur les forces et les distances dans ce
problème suggère que nous pouvons utiliser le travail comme la grandeur qui lie les
forces agissant sur le corps à mesure qu’il se déplacent. Le travail est défini comme l’énergie qu’un objet gagne ou perd lorsqu’il se déplace
dans le même sens ou dans le sens opposé à une force extérieure. En particulier, lorsque les forces sont constantes et dans le même sens que le
mouvement, le travail est exactement égal à la force appliquée multipliée par la
distance parcourue par l’objet.
Dans presque tous les cas où nous sommes intéressés à utiliser le travail, nous
sommes également intéressés à utiliser le principe du travail-énergie. Le principe travail-énergie nous dit que le travail total, c’est-à-dire la
contribution de chaque force individuelle agissant sur un objet entre sa position de
départ et sa position finale, est exactement égal à la variation de l’énergie
cinétique entre ces deux positions. Avec ces deux équations, nous avons trouvé notre stratégie pour répondre à cette
question. Le changement d’énergie cinétique est une quantité que nous pouvons calculer
directement en sachant que le corps est au repos au début et à la fin du trajet
considéré. Cette variation d’énergie cinétique est alors exactement égale au travail total, qui
est la contribution du poids et de la résistance au mouvement.
Puisque le travail dépend de la distance, une partie de notre calcul du travail à
partir de ces deux forces inclura la distance inconnue. Donc, en calculant l’énergie cinétique et le travail de chacune des forces, nous
obtiendrons une équation qui contient l’inconnue, la distance, que nous voulons
calculer. Alors allons-y. Rappelons que l’énergie cinétique est égale à un demi de la masse multipliée par la
vitesse au carré. Alors, un corps au repos, par définition, a une vitesse nulle, de sorte que son
énergie cinétique, un demi fois la masse fois zéro au carré, est égale à zéro. Puisque l’énergie cinétique finale est nulle et que l’énergie cinétique initiale est
également nulle, la variation totale de l’énergie cinétique est nulle.
Ensuite, nous allons trouver le travail à partir du poids et de la résistance. Nous allons commencer par la résistance. Puisque la résistance pointe toujours dans le sens opposé au mouvement, le mouvement
et la force sont parallèles et nous pouvons utiliser la force fois la distance sans
modification. Nous savons que l’intensité de la force est la racine carrée de trois divisée par
quatre fois le poids du corps et que la distance totale parcourue est 𝑙, la
longueur de la rampe, plus 𝑑, la distance inconnue le long du plan horizontal. Notez que nous utilisons la distance complète 𝑙 plus 𝑑 car même si la direction de
la résistance change, elle change de la même manière que le mouvement change. Donc, les deux sont toujours parallèles.
Pour le travail effectué par le poids, nous devons tenir compte du fait que le poids
pointe directement vers le bas mais que l’objet se déplace vers le bas de la rampe
ou à travers l’horizontale mais jamais directement vers le bas. Rappelez-vous que le travail est l’énergie gagnée ou dépensée pour se déplacer dans
le même sens ou dans le sens opposé à une force. Lorsque l’objet se déplace sur l’horizontale, il se déplace perpendiculairement au
sens descendant. Puisque ces deux directions sont perpendiculaires, elles ne pointent ni dans le même
sens ni dans le sens opposé. Ainsi, le travail effectué par le poids lorsque l’objet se déplace sur l’horizontale
est nul.
D’autre part, lorsque le corps se déplace vers le bas de la pente, même s’il se
déplace d’un angle, une partie de son mouvement est toujours dans le sens
descendant. Pour trouver le travail dans ce cas, nous avons besoin de la distance par laquelle le
corps se déplace dans le même sens que la force. Le poids est directement vers le bas. En d’autres termes, il est purement vertical, donc la distance que nous recherchons
est simplement la hauteur verticale du corps au-dessus du plan horizontal. Puisque cette droite verticale est perpendiculaire à l’horizontale, nous avons un
triangle rectangle avec un angle de base de 60 et une hypoténuse de longueur 𝑙. Par conséquent, la longueur du côté vertical est 𝑙 fois le sin de 60 degrés ou 𝑙
fois la racine carrée de trois divisée par deux.
D’accord, donc la force agissant sur le corps lors de sa descente de la rampe est 𝐹
𝑃 et la distance totale que le corps parcourt dans le même sens que 𝐹 𝑃 est 𝑙 fois
la racine carrée de trois divisée par deux. Ainsi, le travail effectué par le poids est 𝐹 indice 𝑃 fois 𝑙 fois la racine carrée
de trois divisé par deux. Notez que la distance horizontale associée à la rampe n’affecte pas le travail
effectué par le poids pour la même raison que la distance parcourue le long du plan
horizontal. Dans les deux cas, étant donné que l’horizontale et la verticale sont
perpendiculaires, la contribution totale du poids est nulle.
D’accord, nous avons maintenant la variation totale de l’énergie cinétique et le
travail effectué par chacune des forces. Nous sommes donc prêts à les combiner dans le principe de l’énergie de travail. Puisque la résistance pointe toujours dans le sens opposé au mouvement, la bonne
combinaison pour le travail total est de soustraire le travail effectué par la
résistance du travail effectué par le poids. Cela nous donne, en utilisant les formes que nous avons déjà calculées, le travail dû
au poids moins le travail dû à la résistance est égal à zéro.
Libérons un peu d’espace afin de pouvoir résoudre cette équation pour l’inconnue
𝑑. Puisque cette équation a un zéro sur un côté, si nous multiplions l’autre côté par
une grandeur non nulle, l’équation est toujours valable. Puisque les deux termes sur le côté gauche ont un 𝐹 𝑃 et une racine carrée de trois
et que ni 𝐹 𝑃 ni racine carrée de trois n’est zéro, divisons par ces deux grandeurs
en multipliant par leurs inverses. Nous pouvons également nous débarrasser des fractions en multipliant par quatre.
Dans le premier terme, 𝐹 𝑃 fois la racine carrée de trois divisée par la racine
carrée de trois fois 𝐹 𝑃 est juste un et quatre divisé par deux est deux. Donc, ce premier terme devient deux 𝑙. Au deuxième terme, quatre divisé par quatre est un, la racine carrée de trois divisée
par la racine carrée de trois est un, et 𝐹 𝑃 divisé par 𝐹 𝑃 est également un. Cela nous laisse avec 𝑙 plus 𝑑. Et zéro fois tout est toujours nul. Alors ensuite, nous avons deux 𝑙 moins 𝑙 plus 𝑑 est égal à zéro. Si nous développons les parenthèses, nous obtenons deux 𝑙 moins 𝑙 moins 𝑑 est égal
à zéro. Deux 𝑙 moins 𝑙 est juste 𝑙. Et si nous ajoutons 𝑑 des deux côtés, 𝑑 plus moins 𝑑 est zéro et zéro plus 𝑑 est
𝑑.
Nous constatons donc que 𝑑, la distance le long du plan horizontal que nous
recherchons, est exactement égale à 𝑙 la longueur de la rampe. Mais nous connaissons cette longueur. Il nous est donné comme 312 centimètres. Donc, la réponse que nous recherchons, la distance parcourue par le corps le long du
plan horizontal, est de 312 centimètres.
