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Déterminez là où 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 puissance quatre sur deux moins trois 𝑥 au carré plus trois est convexe vers le bas et là où elle est convexe vers le haut.
Cette question porte sur les intervalles sur lesquels notre fonction est convexe vers le bas et sur lesquels elle est convexe vers le haut. Pour répondre à cette question, il est utile de connaître les définitions de la convexité vers le bas et de la convexité vers le haut. Une fonction 𝑓 polynomiale est convexe vers le bas sur un intervalle 𝐼 si 𝑓 prime, la dérivée première de 𝑓, est une fonction croissante sur 𝐼. Une fonction 𝑓 polynomiale est convexe vers le haut sur un intervalle 𝐼 si sa dérivée 𝑓 prime est une fonction décroissante sur 𝐼.
Le fait qu’une fonction 𝑓 soit convexe vers le bas ou convexe vers le haut est lié à la croissance ou à la décroissance de sa dérivée 𝑓 prime. Nous connaissons maintenant un critère qui nous permet de savoir si une fonction donnée est croissante ou décroissante sur un intervalle donné. Une fonction 𝑔 est croissante sur un intervalle 𝐼 si sa dérivée 𝑔 prime est positive sur 𝐼. Une fonction 𝑔 est décroissante sur un intervalle 𝐼 si sa dérivée 𝑔 prime est négative sur 𝐼.
Nous cherchons à savoir si 𝑓 prime est croissante ou décroissante. Remplaçons donc 𝑔 par 𝑓 prime. 𝑓 prime est croissante si sa dérivée 𝑓 prime prime ou 𝑓 double prime est positive. Et 𝑓 prime est décroissante si sa dérivée 𝑓 prime prime ou 𝑓 double prime est négative. En appliquant le critère de croissance ou de décroissance à la définition de la convexité, nous obtenons le critère de convexité. Une fonction polynomiale 𝑓 est convexe vers le bas sur un intervalle 𝐼 si sa dérivée seconde 𝑓 double prime est positive sur 𝐼. Et la fonction polynomiale 𝑓 est convexe vers le haut sur un intervalle 𝐼 si sa dérivée seconde est négative sur 𝐼.
C’est un critère que nous allons appliquer pour résoudre notre problème. Libérons de l’espace pour pouvoir l’appliquer. Nous avons besoin de déterminer la dérivée seconde de notre fonction. Nous dérivons une première fois pour trouver 𝑓 prime de 𝑥. Nous dérivons terme à terme en utilisant la dérivée connue d’un monôme. La dérivée de 𝑥 puissance quatre sur deux est égale à deux 𝑥 au cube. La dérivée de trois 𝑥 au carré est égale à six 𝑥. Et la dérivée de trois est égale à zéro.
Donc ceci est 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée première de 𝑓. Mais nous avons besoin de la dérivée seconde de 𝑓, nous allons donc dériver 𝑓 prime. La dérivée de deux 𝑥 au cube est égale à six 𝑥 au carré. Et la dérivée de six 𝑥 est égale à six. Nous avons donc trouvé que la dérivée seconde de 𝑓 est égale à six 𝑥 au carré moins six. 𝑓 est convexe vers le bas lorsque six 𝑥 au carré moins six est supérieur à zéro et convexe vers le haut lorsque six 𝑥 au carré moins six est inférieur à zéro.
Il s’agit simplement d’appliquer le critère de convexité à notre expression de 𝑓 double prime de 𝑥 qu’on vient de trouver. Nous avons maintenant deux inéquations du second degré à résoudre. Et nous pouvons les résoudre de différentes façons. Nous pouvons commencer par diviser les deux membres par six ce qui emmène à 𝑥 au carré moins un supérieur à zéro, puis nous factorisons le membre de gauche. La première inégalité devient 𝑥 plus un fois 𝑥 moins un supérieur à zéro.
Nous pouvons faire exactement la même chose avec l’autre inéquation. La seule différence est que le signe plus grand que devient plus petit que. Résolvons maintenant ces inéquations en utilisant un tableau. Nous trouvons les intervalles sur lesquels les facteurs 𝑥 plus un et 𝑥 moins un sont positifs ou négatifs et nous utilisons cette information pour déterminer là où le produit 𝑥 plus un fois 𝑥 moins un est positif ou négatif.
Par exemple, pour 𝑥 inférieur à moins un, 𝑥 plus un est inférieur à zéro et est donc négatif. Et 𝑥 moins un est inférieur à moins deux et est donc certainement négatif. Lorsque 𝑥 est compris entre moins un et un, 𝑥 plus un est compris entre zéro et deux. Il est donc positif alors que 𝑥 moins un est compris entre moins deux et zéro. Qui est donc négatif. Enfin, lorsque 𝑥 est supérieur à un, 𝑥 plus un et 𝑥 moins un sont positifs.
Ce n’est pas un hasard que les intervalles que nous avons trouvés partagent la droite des réels aux racines de 𝑥 plus un fois 𝑥 moins un. 𝑥 plus un et 𝑥 moins un sont tous deux négatifs sur l’intervalle 𝑥 est inférieur à moins un. Et donc leur produit est positif. Moins fois moins donne un plus. Sur cet intervalle, nous avons le produit d’une quantité positive et d’une quantité négative ce qui fait une quantité négative. Et enfin, lorsque 𝑥 est supérieur à un, 𝑥 plus un fois 𝑥 moins un est une quantité positive multipliée par une quantité positive, ce qui est positif.
Alors, quand est ce que 𝑥 plus un fois 𝑥 moins un est positif ou supérieur à zéro ? Il est positif sur deux intervalles : les intervalles où 𝑥 est inférieur à moins un et celles où 𝑥 est supérieur à un. Et quand est-ce qu’il est négatif ? Eh bien, nous pouvons voir dans le tableau que cela se produit lorsque 𝑥 est compris entre moins un et un. Passons de l’utilisation d’inéquations du type 𝑥 est inférieur à moins un à l’utilisation de la notation d’intervalle.
𝑥 est inférieur à moins un sur l’intervalle ouvert de moins l’infini à moins un et est supérieur à un sur l’intervalle ouvert de un à plus l’infini. Et 𝑥 est compris entre moins un et un sur l’intervalle ouvert de moins un à un. En utilisant ces intervalles dans notre réponse, nous voyons que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 puissance quatre sur deux moins trois 𝑥 au carré plus trois est convexe vers le bas sur les intervalles ouverts de moins l’infini à moins un et de un à plus l’infini et convexe vers le haut sur l’intervalle ouvert de moins un à un.
Nous avons trouvé cette réponse en utilisant le critère de convexité, qui est simplement l’application du critère de croissance/décroissance d’une fonction à la définition de la convexité. L’application de ce critère à notre fonction nous a conduit à deux inéquations du second degré que nous avons résolues de manière classique.
