Transcription de la vidéo
Écrivez 𝑧 est égal à cinq racine trois 𝑒 exposant 𝜋 sur trois 𝑖 sous la forme algébrique.
Nous avons ce nombre complexe 𝑧 sous forme exponentielle. C’est la forme 𝑧 est égal à 𝑟𝑒 𝑖𝜃, où 𝑟 est la valeur absolue du nombre complexe et 𝜃 est son argument mesuré en radians. Et nous savons qu’une autre façon d’exprimer un nombre complexe est sous forme algébrique, c’est-à-dire, 𝑧 est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖, ce qui correspond à la conversion requise. Mais pour ce faire, nous allons commencer par exprimer 𝑧 sous sa forme polaire. C’est la forme 𝑧 égale 𝑟 multipliée par cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus de 𝜃.
Mais pourquoi faisons-nous cela ? Eh bien, en l’écrivant de cette façon, nous pouvons alors distribuer les parenthèses pour nous donner 𝑧 est égal à 𝑟 cosinus de 𝜃 plus 𝑖𝑟 sinus de 𝜃. Et à partir de là, 𝑟 cosinus de 𝜃 est la partie réelle du nombre complexe, 𝑎, et 𝑟 sinus de 𝜃 est la partie imaginaire du nombre complexe, 𝑏. Et cela nous donne la forme algébrique de 𝑧 est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖. Commençons donc par écrire ce nombre complexe sous sa forme polaire. Nous pouvons voir juste par observation que le module du nombre complexe 𝑟 est égal à cinq racine trois et que l’argument 𝜃 est égal à 𝜋 sur trois. Ainsi, en utilisant nos valeurs de 𝑟 et 𝜃 et la forme polaire générale pour un nombre complexe, nous avons notre nombre complexe qui peut être écrit comme 𝑧 est égal à cinq racine trois multiplié par cosinus de 𝜋 sur trois plus 𝑖 sinus de 𝜋 sur trois.
Mais déterminons en fait les valeurs de cosinus de 𝜋 sur trois et sinus de 𝜋 sur trois. Basé sur le cercle trigonométrique, nous pouvons trouver que cosinus de 𝜋 sur trois est égal à un sur deux, et nous obtenons également que sinus de 𝜋 sur trois est égal à la racine trois sur deux. Donc, ceci nous donne 𝑧 est égal à cinq racine trois multipliée par un sur deux plus racine trois sur deux 𝑖. La distribution des parenthèses nous donne alors 𝑧 égal à cinq racine trois sur deux plus cinq racine trois multipliée par la racine trois sur deux 𝑖. Mais nous savons que la racine trois multipliée par la racine trois ne nous donne que trois et que cinq multipliée par trois nous donne 15 ce qui nous donne alors une réponse finale de 𝑧 égale cinq racine trois sur deux plus 15 sur deux 𝑖.
Ainsi, en prenant un nombre complexe sous forme exponentielle et en calculant la valeur de 𝑟 et 𝜃 puis en convertissant le nombre complexe à la forme polaire, nous avons ensuite pu le convertir à la forme algébrique.
