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Vidéo de la leçon : Médiatrice d’une corde Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le théorème de la médiatrice d’une corde passant par le centre d’un cercle et sa réciproque pour résoudre des problèmes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le théorème de la médiatrice d’une corde passant par le centre d’un cercle et sa réciproque pour résoudre des problèmes. Commençons par rappeler comment nous pouvons définir un rayon, une corde et un diamètre. Un rayon est un segment qui a une extrémité au centre du cercle et l’autre sur la circonférence. Nous définissons une corde comme tout segment dont les extrémités se trouvent toutes les deux sur la circonférence du même cercle. Le diamètre est un type spécial de corde qui passe par le centre du cercle. Nous pouvons également le considérer comme composé de deux rayons.

Nous allons maintenant regarder à quoi ressemble une médiatrice d’une corde. Dans la figure, nous avons la corde 𝐵𝐶 avec sa médiatrice. Nous allons voir trois théorèmes dans cette vidéo. Et dans chaque cas, nous devons considérer le centre du cercle 𝐴 ainsi que les rayons 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶.

Notre premier théorème dit que si nous avons un cercle de centre 𝐴 contenant une corde 𝐵𝐶, alors la droite qui passe par 𝐴 et coupe la corde 𝐵𝐶 en son milieu est perpendiculaire à 𝐵𝐶. Le deuxième théorème est très similaire. Si nous avons un cercle de centre 𝐴 contenant une corde 𝐵𝐶, alors la droite qui passe par 𝐴 et qui est perpendiculaire à 𝐵𝐶 est également la médiatrice de 𝐵𝐶. Notre troisième théorème est la réciproque du théorème de la médiatrice. Cela dit que si nous avons un cercle de centre 𝐴 contenant une corde 𝐵𝐶, alors la médiatrice de 𝐵𝐶 passe par 𝐴.

Il est important de noter que la médiatrice d’une corde crée deux triangles superposables. Dans la figure, ce sont les triangles 𝐴𝐷𝐶 et 𝐴𝐷𝐵. Nous allons maintenant voir quelques exemples où nous pouvons utiliser les théorèmes présentés pour trouver les longueurs et les angles manquants.

Étant donné que 𝐴𝑀 est égal à 200 centimètres et 𝑀𝐶 est égal à 120 centimètres, trouvez la longueur du segment 𝐴𝐵.

Sur la figure, nous avons un cercle de centre 𝑀. La corde 𝐴𝐵 est coupée en son milieu par le segment 𝑀𝐷 au point 𝐶. En appliquant le théorème de la médiatrice d’une corde, qui dit que si nous avons un cercle de centre 𝑀 contenant une corde 𝐴𝐵, alors la droite qui passe par 𝑀 et coupe en son milieu la corde 𝐴𝐵 est perpendiculaire à 𝐴𝐵. On peut dire que la mesure de l’angle 𝑀𝐶𝐵 est de 90 degrés. On nous dit que la longueur de 𝐴𝑀 est de 200 centimètres. Et comme il s’agit d’un rayon du cercle, 𝐵𝑀 est également de 200 centimètres. On nous dit aussi que 𝑀𝐶 est égal à 120 centimètres. En ajoutant ces mesures à notre figure, nous avons un triangle rectangle 𝑀𝐶𝐵 comme indiqué.

En appliquant le théorème de Pythagore, la longueur de 𝐵𝐶 est égale à la racine carrée de 200 au carré moins 120 au carré. Cela est égal à 160. Comme 𝐵𝐶 est égal à 160 centimètres et que le point 𝐶 coupe le segment 𝐴𝐵 en son milieu, alors 𝐴𝐶 est également égal à 160 centimètres. Le segment 𝐴𝐵 est donc égal à 320 centimètres.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment appliquer les théorèmes pour trouver l’aire d’un triangle.

Dans la figure ci-dessous, si 𝑀𝐴 est égal à 17,2 centimètres et 𝐴𝐵 est égal à 27,6 centimètres, trouvez la longueur du segment 𝑀𝐶 et l’aire du triangle 𝐴𝐷𝐵 au dixième près.

Puisque 𝑀 est le centre du cercle et que le segment 𝑀𝐷 coupe la corde 𝐴𝐵 en 𝐶, nous pouvons appliquer le théorème de la médiatrice d’une corde. Cela dit que si nous avons un cercle de centre 𝑀 contenant une corde 𝐴𝐵, alors la droite qui passe par 𝑀 et coupe 𝐴𝐵 en son milieu est perpendiculaire à 𝐴𝐵. Cela signifie que la mesure de l’angle 𝑀𝐶𝐴 est de 90 degrés. Puisque la corde 𝐴𝐵 a une longueur de 27,6 centimètres et que nous savons que 𝐶 divise cette corde en deux, 𝐴𝐶 est égal à 27,6 divisé par deux. Cela est égal à 13,8 centimètres.

On nous dit aussi que le rayon 𝑀𝐴 est égal à 17,2 centimètres. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle 𝑀𝐶𝐴 tel que 𝑀𝐶 est égal à la racine carrée de 17,2 au carré moins 13,8 au carré. Cela est égal à 10,266 et ainsi de suite. Et en arrondissant au dixième près, le segment 𝑀𝐶 est égal à 10,3 centimètres.

La deuxième partie de notre question nous demande de calculer l’aire du triangle 𝐴𝐷𝐵. En faisant un peu de place, nous rappelons que l’aire de tout triangle est égale à sa base multipliée par sa hauteur divisée par deux. Nous savons que la base de notre triangle 𝐴𝐵 est égale à 27,6 centimètres. La hauteur 𝐶𝐷 sera égale à 𝑀𝐷 moins 𝑀𝐶. 𝑀𝐷 est le rayon du cercle, et nous savons que cela est égal à 17,2 centimètres. Bien que nous puissions utiliser 10,3 centimètres pour 𝑀𝐶, il est plus précis d’utiliser la version non arrondie : 𝑀𝐶 est égal à 10,266 et ainsi de suite. En soustrayant cela de 17,2, nous voyons que la longueur de 𝐶𝐷 est de 6,933 et ainsi de suite, en centimètres.

Nous pouvons maintenant calculer l’aire du triangle 𝐴𝐷𝐵 en multipliant cela par 27,6 centimètres puis en divisant par deux. Cela est égal à 95,683 et ainsi de suite. Encore une fois, nous devons arrondir au dixième près, ce qui nous donne une réponse de 95,7 centimètres carrés.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment utiliser des médiatrices de cordes pour déterminer un angle manquant.

Les segments 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont deux cordes du cercle de centre 𝑀 sur deux côtés opposés de son centre, où la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est égale à 33 degrés. Si 𝐷 et 𝐸 sont respectivement les milieux des segments 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶, trouvez la mesure de l’angle 𝐷𝑀𝐸.

Nous commençons par remarquer que 𝑀𝐸 et 𝑀𝐷 passent tous les deux par le centre du cercle et qu’ils coupent les cordes 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵, respectivement. Nous pouvons donc appliquer le théorème de la médiatrice d’une corde, qui dit que si nous avons un cercle de centre 𝑀 contenant une corde 𝐴𝐵, alors la droite qui passe par 𝑀 et coupe 𝐴𝐵 en son milieu est perpendiculaire à 𝐴𝐵. Cela signifie que, sur notre figure, la mesure de l’angle 𝑀𝐸𝐴 et la mesure de l’angle 𝑀𝐷𝐴 sont toutes deux égales à 90 degrés.

Nous remarquons que 𝐴𝐷𝑀𝐸 est un quadrilatère. Et nous savons que la somme des angles dans un quadrilatère vaut 360 degrés. Cela signifie que la mesure de l’angle 𝐷𝑀𝐸 que nous essayons de calculer est égale à 360 moins 90 moins 90 moins 33. Cela est égal à 147 degrés.

Dans notre dernier exemple, nous trouverons le périmètre d’un triangle en utilisant des médiatrices de cordes.

Dans un cercle de centre 𝑂, 𝐴𝐵 est égal à 35 centimètres, 𝐶𝐵 est égal à 25 centimètres et 𝐴𝐶 est égal à 40 centimètres. Étant donné que la droite 𝑂𝐷 est perpendiculaire à la droite 𝐵𝐶 et que la droite 𝑂𝐸 est perpendiculaire à la droite 𝐴𝐶, déterminez le périmètre du triangle 𝐶𝐷𝐸.

On nous donne dans la question la longueur des trois côtés du triangle 𝐶𝐵𝐴. Nous savons que 𝐴𝐵 est de 35 centimètres, 𝐶𝐵 est de 25 centimètres et 𝐴𝐶 est de 40 centimètres. On nous a demandé de calculer le périmètre du triangle 𝐶𝐷𝐸. Nous ferons cela en prouvant d’abord que les triangles 𝐶𝐵𝐴 et 𝐶𝐷𝐸 sont semblables en utilisant le théorème de la médiatrice d’une corde. Nous remarquons sur la figure que les segments 𝑂𝐸 et 𝑂𝐷 passent tous deux par 𝑂 et joignent les cordes 𝐴𝐶 et 𝐶𝐵 à angle droit.

Le théorème de la médiatrice d’une corde dit que si nous avons un cercle de centre 𝑂 contenant une corde 𝐵𝐶, alors la droite qui passe par 𝑂 et qui est perpendiculaire à 𝐵𝐶 est également la médiatrice de 𝐵𝐶. Dans notre figure, cela signifie que la longueur 𝐴𝐸 est égale à la longueur 𝐸𝐶 et que la longueur 𝐶𝐷 est égale à la longueur 𝐷𝐵.

Il est également clair sur la figure que 𝐴𝐶 est égal à deux multiplié par 𝐸𝐶 et 𝐶𝐵 est égal à deux multiplié par 𝐶𝐷. Comme les deux triangles 𝐶𝐵𝐴 et 𝐶𝐷𝐸 partagent également l’angle 𝐶, nous avons deux côtés correspondants en proportion et les angles entre les deux côtés sont égaux. Cela prouve que les deux triangles sont semblables. Et en fait, le triangle 𝐶𝐵𝐴 est plus grand que le triangle 𝐶𝐷𝐸 d’un facteur d’échelle de deux, car les longueurs des côtés correspondants sont deux fois plus longues. Le côté 𝐴𝐶 est égal à deux multiplié par le côté 𝐸𝐶, 𝐶𝐵 est égal à deux 𝐶𝐷 et 𝐴𝐵 est égal à deux multiplié par 𝐸𝐷.

Nous pouvons calculer le périmètre du triangle 𝐶𝐵𝐴 en additionnant 40, 35 et 25. Cela est égal à 100 centimètres. Le périmètre du triangle 𝐶𝐷𝐸 sera donc égal à la moitié de celui-ci. Cela est égal à 50 centimètres.

Nous avons maintenant vu une variété d’exemples illustrant la manière dont les médiatrices des cordes peuvent être utilisées pour trouver des longueurs et des mesures d’angles manquantes et d’autres inconnues dans des problèmes impliquant des cercles. Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette vidéo.

Le théorème de la médiatrice d’une corde peut être résumé de trois façons. Tout d’abord, si nous avons un cercle de centre 𝐴 contenant une corde 𝐵𝐶, alors la droite qui passe par 𝐴 et coupe la corde 𝐵𝐶 en son milieu est perpendiculaire à 𝐵𝐶. De la même manière, la droite qui passe par 𝐴 et est perpendiculaire à 𝐵𝐶 est également la médiatrice de 𝐵𝐶. La réciproque de ces deux théorèmes dit que la médiatrice de la corde 𝐵𝐶 passe par le centre 𝐴. Comme déjà dit, ces théorèmes peuvent être utilisés pour trouver des longueurs et des mesures d’angles manquantes et d’autres inconnues dans des problèmes impliquant des cercles.

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