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Lequel des graphes suivants représente l’équation 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus quatre fois 𝑥 moins deux ? Options A, B, C, D et E.
Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 et on nous demande de déterminer lequel des cinq graphes donnés représente cette fonction. Nous pouvons noter que 𝑓 de 𝑥 est le produit de deux facteurs affines, et si nous développions cette expression, nous obtiendrions une expression du second degré.
Nous pourrions répondre à cette question par élimination des options ; Cependant, il est plus utile de pouvoir dessiner des polynômes à partir de leurs équations. Pour ce faire, notons d’abord que pour qu’un produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro. Cela signifie que la fonction 𝑓 de 𝑥 ne peut être égale à zéro que lorsque 𝑥 égale moins quatre ou 𝑥 égale deux. Si la fonction donne zéro pour ces valeurs de 𝑥, alors elles doivent être les racines de son graphe. C’est un bon point de départ pour commencer notre dessin, mais nous pouvons déterminer plus d’informations sur le graphe de cette fonction en développant le produit.
Nous pouvons le faire en déterminant la somme du produit des termes des deux facteurs deux à deux. Nous trouvons que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins deux 𝑥 moins huit. Cela nous donne 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins huit. Nous voyons maintenant que 𝑓 de 𝑥 est une équation du second degré avec de coefficient dominant un et de terme constant moins huit.
On peut alors rappeler que si une fonction du second degré a un coefficient dominant positif, alors sa courbe sera une parabole qui ouverte vers le haut. En d’autres termes, elle est en forme de U. Nous pouvons également rappeler que le terme constant dans la fonction nous indique la valeur de l’ordonnée à l’origine, puisque nous pouvons remplacer 𝑥 par zéro dans la fonction pour n’avoir que le terme constant.
Nous avons assez d’informations pour dessiner la parabole. Premièrement, nous pouvons noter les racines en moins quatre et deux. Deuxièmement, nous pouvons ajouter l’ordonnée à l’origine en moins huit sur notre croquis. Enfin, nous connectons ces points avec une forme parabolique qui s’ouvre vers le haut pour obtenir le croquis suivant. Nous pouvons maintenant comparer ce croquis à chacune des cinq options données.
Dans l’option (A), nous pouvons noter qu’il n’y a pas de racines et que l’ordonnée à l’origine n’est pas en moins huit, donc ce n’est pas le bon graphe. Dans l’option (B), nous pouvons voir sur le graphe que l’ordonnée à l’origine n’est pas en moins huit et que la parabole s’ouvre vers le bas, et non pas vers le haut, donc cela ne peut pas être le bon graphe. Dans l’option (C), nous voyons que les racines ne sont pas en moins quatre et deux, et l’ordonnée à l’origine n’est pas en moins huit. Ce n’est donc pas le bon graphe.
Dans l’option (D), nous pouvons voir que les racines ne sont pas en moins quatre et deux. Cela ne peut donc pas être le bon graphe. Enfin, dans l’option (E), nous pouvons voir que les racines et l’ordonnée à l’origine sont aux bons endroits et que nous avons également une courbe parabolique qui s’ouvre vers le haut, donc cela doit être la bonne option.
Ainsi, la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus quatre fois 𝑥 moins deux est donnée par l’option (E).
