Transcription de la vidéo
Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à 𝑍𝑌𝑋𝐿, déterminez la mesure de l'angle 𝑋𝐿𝑍 et la longueur du segment 𝐶𝐷.
La première chose à remarquer est ce trait incurvé qui indique que ces quadrilatères sont semblables. Lorsque deux polygones sont semblables, cela signifie que les angles correspondants sont égaux et que les côtés correspondants sont proportionnels. Il s'agit donc de déterminer quelles paires d'angles et quelles paires de côtés seront correspondantes. Dans la première partie de cette question, on nous demande donc de trouver la mesure de l'angle 𝑋𝐿𝑍, qui sera ici dans le plus grand polygone. L'angle dans le petit polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷 qui correspond à 𝑋𝐿𝑍 sera cet angle en 𝐶𝐷𝐴.
Dans certains schémas, ce n'est pas facile de déterminer quels sont les angles correspondants, mais on peut toujours décider à partir de l'énoncé de similitude si donné. Par exemple, dans notre proposition de similitude, l'angle 𝑋𝐿𝑍 correspondra à l'angle 𝐶𝐷𝐴. Mais le problème ici, est que nous ne connaissons pas l'angle à 𝐶𝐷𝐴, donc voyons si on peut trouver une autre paire d'angles correspondants. On remarque qu'il y a cet angle de 85 degrés dans le petit polygone ; il s’agit de l'angle 𝐷𝐶𝐵. Et l'angle correspondant dans le plus grand polygone sera l'angle 𝐿𝑋𝑌. Donc l'angle 𝐿𝑋𝑌 vaut également 85 degrés.
Puisque nous avons maintenant trois angles dans ce quadrilatère, on peut trouver la mesure de l'angle 𝑋𝐿𝑍 en se rappelant d’une information clé sur les angles d'un quadrilatère. La somme des angles d'un quadrilatère est de 360 degrés. Donc, si nous additionnons les trois angles de 105 degrés, 109 degrés et 85 degrés puis nous les soustrayons de 360 degrés, nous obtiendrons la mesure de l'angle 𝑋𝐿𝑍. En calculant 360 degrés moins 299 degrés, on obtient un angle de 61 degrés. Voilà donc la réponse à la première partie de la question : trouvez la mesure de l'angle 𝑋𝐿𝑍.
On peut maintenant vide un peu d’espace pour trouver la longueur du segment 𝐶𝐷. En examinant les longueurs des côtés de ces deux polygones semblables, il est important de se rappeler que les côtés correspondants sont proportionnels mais pas nécessairement égaux. Pour examiner les côtés correspondants, on peut observer que la longueur de 𝐴𝐵 correspond à la longueur de 𝑍𝑌. Généralement, quand on travaille avec des polygones semblables, on nous donne ou on peut très facilement trouver une paire de longueurs correspondantes. Le fait d'avoir une paire de côtés correspondants nous permet de calculer la proportion entre les formes. On peut utiliser deux méthodes différentes pour déterminer la longueur de ce segment 𝐶𝐷, examinons la première méthode.
Dans cette méthode, on considère qu'il y a une proportion entre les deux côtés correspondants 𝑍𝑌 et 𝐴𝐵. Elle sera égale au rapport ou proportion du segment 𝐶𝐷 et son côté correspondant. Le côté correspondant à 𝐶𝐷 sera la longueur 𝑋𝐿. On peut donc dire que la proportion de 𝑋𝑌 par rapport à 𝐴𝐵 est la même que celle entre 𝑋𝐿 et 𝐶𝐷.
Il ne reste plus maintenant qu'à compléter les valeurs qui nous sont données pour chacune de ces longueurs. On a donc que 150 sur 75 égale 246,2 sur 𝐶𝐷, que nous cherchons à calculer. On peut simplifier la fraction de gauche par le facteur commun 75. En effectuant le produit en croix, on constate que deux fois la longueur de 𝐶𝐷 égale 246,2 fois un, soit 246,2. Si on divise les deux côtés de cette équation par deux, on trouve que la longueur du segment 𝐶𝐷 est de 123,1, et bien sûr les unités seront les unités de longueur en centimètres. Et voilà donc la réponse à la deuxième partie de cette question.
Mais avant de terminer, examinons la deuxième méthode alternative que nous pouvons utiliser pour déterminer la longueur du segment 𝐶𝐷. Il s'agit de trouver le facteur d'échelle entre les deux polygones. Pour déterminer le facteur d'échelle, on peut utiliser nos deux longueurs correspondantes données, 𝐴𝐵 et 𝑍𝑌. Vous avez peut-être déjà remarqué que pour passer de 𝐴𝐵 à 𝑍𝑌, il faut multiplier la longueur par deux. Alors, le facteur d'échelle de 𝐴𝐵𝐶𝐷 à 𝑍𝑌𝑋𝐿 serait donc deux.
Si au contraire nous souhaitions passer du polygone le plus grand au polygone le plus petit, il suffirait de diviser la longueur par deux. Mais il faut toujours donner le facteur d'échelle en termes de multiplication, et diviser par deux revient à multiplier par deux. Donc pour trouver la longueur du segment 𝐶𝐷, on prend la longueur du segment 𝑋𝐿 et on la multiplie simplement par un demi. On obtient ainsi la même valeur 123,1 centimètres obtenue précédemment. Ainsi, l'une ou l'autre méthode nous permettrait de déterminer la longueur du segment 𝐶𝐷.
