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Vidéo de question : Intégration de fonctions comprenant l’inverse de fonctions trigonométriques Mathématiques

Déterminez ∫ (-4 cos 𝑥 + (6/cos² 𝑥) - 20) d𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’intégrale de moins quatre cosinus 𝑥 plus six divisé par cosinus carré 𝑥 moins 20 par rapport à 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de calculer l’intégrale d’une fonction composée de trois termes. Le premier terme est une fonction trigonométrique et le troisième terme est une constante. Nous savons comment intégrer ces deux fonctions. Le deuxième terme est une fonction trigonométrique. Mais, il s’agit de l’inverse d’une fonction trigonométrique car le cosinus apparaît au dénominateur de la fonction. Nous allons donc commencer par réécrire cela en utilisant les identités trigonométriques inverses.

Rappelons qu’un divisé par cosinus 𝑥 est défini comme étant égal à secante 𝑥. Si nous prenons ensuite le carré des deux côtés de cette équation, nous voyons qu’un divisé par cosinus carré 𝑥 est égal à secante carré 𝑥. Et nous avons six divisé par cosinus carré 𝑥, donc cela équivaut à six secante carré de 𝑥. Par conséquent, nous pouvons réécrire l’intégrale comme l’intégrale de moins quatre cosinus 𝑥 plus six secante carré de 𝑥 moins 20 par rapport à 𝑥.

Et nous pouvons maintenant déterminer l’intégrale de chacun de ces termes séparément. Commençons par le premier terme, intégrale de moins quatre cosinus 𝑥. Pour cela, rappelons le résultat suivant. Pour toute constante réelle 𝑎, l’intégrale de 𝑎 cosinus 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 sinus plus une constante d’intégration 𝐶. La valeur de 𝑎 est moins quatre, donc nous remplaçons dans la formule, ce qui donne moins quatre sinus 𝑥. Et nous pourrions ajouter une constante d’intégration. Mais nous pouvons simplement en ajouter une à la fin de l’expression.

Nous pouvons intégrer le deuxième terme en utilisant une autre propriété. Rappelons que pour toute constante réelle 𝑎, l’intégrale de 𝑎 secante carré 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 tangente 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶. Cette fois, la valeur du coefficient 𝑎 est six. Nous remplaçons donc cette valeur dans la formule pour obtenir six tangente 𝑥. Il faut enfin déterminer l’intégrale de moins 20 par rapport à 𝑥. Il y a plusieurs façons de faire. La manière la plus simple est de se rappeler que lorsqu’on cherche l’intégrale d’une constante, il suffit de la multiplier par notre variable. L’intégrale de moins 20 par rapport à 𝑥 est moins 20𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶.

Parce que la pente d’une fonction linéaire est simplement le coefficient de 𝑥. Alors la pente de moins 20𝑥 est moins 20. C’est donc une primitive de moins 20. Cela nous donne alors moins quatre sinus 𝑥 plus six tangente 𝑥 moins 20𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶. Et enfin, nous pouvons réécrire ceci en écrivant le terme moins 20𝑥 au début de l’expression. Et cela nous donne le résultat final. L’intégrale de moins quatre cosinus 𝑥 plus six divisé par cosinus au carré 𝑥 moins 20 par rapport à 𝑥 est égal à moins 20𝑥 moins quatre sinus 𝑥 plus six tangente 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶.

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